Частные производные функции двух независимых переменных. Полный дифференциал. Частные производные высших порядков.

Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматри-ваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксиро-ванными (постоянными). Например, для функции двух переменных z= f(x,y) в точке частные про-изводные определяются так: ;

Величина называется частным - приращением функции z в точке по аргументу x(y). Полный дифференциал. Левые части диффе-ренциальных уравнений вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 иногда пред-ставляют собой полные дифферен-циалы некоторых функций. Если восстановить функцию по ее полному дифференциалу, то будет найден общий интеграл дифференциального уравнения. В этой статье опишем метод восстановления функции по ее полному дифференциалу, теорети-ческий материал снабдим примерами и задачами с подробным описанием решения. Левая часть дифференци-ального уравнения P(x,y)dx+Q(x,y) dy=0 является полным дифферен-циалом некоторой функции U(x, y) = 0, если выполняется условие . Так как полный дифференциал функции U(x, y) = 0 есть dU= , то при выполнении условия можно утверждать, что P(x,y)dx+Q(x,y)dy= . Сле-довательно, Частные производные высших поря-дков. Пусть частные производные и функции z = f (x, y), определенной в окрестности точки М, существуют в каждой точке этой окрестности. В этом случае частные производные представляют собой функции двух переменных х и у, определенные в указанной окрест-ности точки М. Назовем их частными производными первого порядка. В свою очередь, частные производные по переменным х и у от функций и в точке М, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции f (М) в этой точке.

15.Экстремумы функции двух независимых переменных. Необхо-димые и достаточные условия сущ. экстремуму. Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами. Про-межутки возрастания и убывания. Функция f(x) называется возрас-тающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) < f(x2). Функция f(x) называется убывающей на проме-жутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) > f(x2). Необходимые условия экстре-мума. Если точка xо является точкой экстремума функции f(x), то либо f '(xо) = 0, либо f (xо) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функ-ции следует искать среди ее крити-ческих точек. Первое достаточное условие. Пусть xо - критическая точка. Если f ' (x) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет max, в противном случае - min. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет. Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f ' (x) в окрестности точки xо и вторую производную в самой точке xо. Если f ' (xо) = 0, >0 ( <0), то точка xо является точкой локального min(max) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке [a,b] функ-ция y = f(x) может достигать наиме-ньшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

16.Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных неоп-ределенных интегралов. Опреде-ление неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функ-ции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозна-чается . Выражение называют подин-тегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подин-тегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифферен-циалу называется неопределенным интегрированием, потому что резуль-татом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C. На основании свойств производной можно сформу-лировать и доказать свойства неопре-деленного интеграла (свойства перво-образной). . Производная результата интегрирования равна подинтег-ральной функции. . Неопределенный интеграл диффе-ренциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

, где k – произвольная константа. Коэффици-ент можно выносить за знак неопреде-ленного интеграла. . Неопределенный интеграл суммы/ разности функций равен сумме/ разности неопределенных интегралов функций. Таблица основных неопре-деленных интегралов ; ;

17.Замена переменной в неопреде-ленном интеграле. Интегрирование по частям. Для упрощения вычис-ления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Пере-ход от x к новой переменной u описы-вается выражением , где x = g (u) - подстановка. Соответственно, обратная функция u = g −1(x) описывает зависимость новой переменной от старой. Важно иметь ввиду, что дифференциал dx должен быть заменен на дифферен-циал новой переменной du. Для опре-деленного интеграла, кроме этого, необходимо также изменить пределы интегрирования. Метод интегриро-вания по частям позволяет свести исходный неопределенный интеграл к более простому виду либо к табличному интегралу. Этот метод наиболее часто применяется, если подынтегральная функция содержит логарифмические, показательные, об-ратные тригонометрические, тригоно-метрические функции, а также их комбинации.Формула интегрирования по частям следующая . То есть, подинтеграль-ное выражение f(x)dx представляем в виде произведения функции u(x) на d(v(x)) - дифференциал функции v(x). Далее находим функцию v(x) (чаще всего методом непосредственного интегрирования) и d(u(x)) – диффе-ренциал функции u(x). Подставляем найденные выражения в формулу интегрирования по частям и исход-ный неопределенный интеграл сво-дится к разности . Последний неопреде-ленный интеграл может быть взят с использованием любого метода инте-грирования, в том числе и метода интегрирования по частям.

18.Интегрирование простейших рациональных дробей. Для интег-рирования рациональной функции , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последова-тельность шагов:если дробь непра-вильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выра-жение; разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выраже-ний; разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициен-тов; вычислить интегралы от прос-тейших дробей. Шаг 1. Преобразо-вание неправильной рациональной дроби, если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателя Q(x)), разделим многочлен P(x) на Q(x). Получим следующее выражение: , где - правильная рацио-нальная дробь. Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби. Запишем многочлен знаменателя Q(x) в виде

Q(X)= , где квадратич-ные функции являются несократи-мыми, то есть не имеющими действи-тельных корней. Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму прос-тейших дробей. Запишем рациональ-ную функцию в следующем виде: Общее число неопределенных коэф-фициентов Ai, Bi, Ki, Li, Mi, Ni,... должно быть равно степени знаме-нателя Q(x). Затем умножим обе части полученного уравнения на знаме-натель Q(x) и приравняем коэффи-циенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы полу-чим систему линейных уравнений относи-тельно неизвестных коэффи-циентов Ai, Bi, Ki, Li, Mi, Ni,.... Данная система всегда имеет единс-твенное решение. Описанный алго-ритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов.

Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей. Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рацио-нальной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул.

19.Определенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл определенного интеграла. Если сущ. конечный предел I интегральной суммы при λ → 0, и он не зависит от способа выбора точек ξ i, способа разбиения отрезка, то этот предел называется определенным интегралом от функции f (x)по отрезку [a, b] и обозначается следующим образом:

I= . В этом случае функция f (x) называется интегрируемой на [a, b]. Числа a и b называются соот-ветственно нижним и верхним преде-лами интегрирования, f (x) – подинте-гральной функцией, х – переменной интегрирования. Следует заметить, что не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегри-рования определенного интеграла .Геометричес-кий смысл определенного интеграла.

Равенство означает, что определен-ный интеграл для непре-рывной и неотрицательной функции y = f(x) представляет собой в геометрическом смысле площадь соответствующей криволинейной трапеции. То есть, вычислив интеграл , мы найдем площадь фигу-ры, ограниченной линиями y = f(x), y = 0, x = a и x = b.

20.Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедливо равенство . Эту формулу называют основной формулой интегрального исчисления.

Для доказательства нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то для аргумента интеграл вида является функцией верхнего предела. Замена переменной в определенном интеграле. При вычи-слении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подинте-гральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения.

ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t[α,β]. Тогда справедливо следующее равен-ство: .

21.Интегрирование по частям в определенном интеграле. Интегри-рование по частям является методом преобразования интеграла спец.вида.

По правилу дифференцирования произведения имеем . Интегрируя обе час-ти этого соотношения на интервале [a, b], имеем d(uv)=udv+vdu; или . Учитывая связь дифферен-циала с производной, окончательно получим

Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

22.Приложение определенного интеграла для вычисления площа-дей плоских фигур, длин дуг плос-ких кривых. Вычисление площади плоской фигуры:1.1.Пусть функция f(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [a, b]. Тогда площадь фигуры, ограниченной осью ОХ, отрезками прямых x = a, x = b и графиком функции, может быть вычислена по формуле 1.2.Если на отрезке [a, b], - непрерывные функции, то площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, x = b, графиками функций вычис-ляется по формуле S= ; 1.3.Если функция f(x) на отрезке [a, b] принимает значения разных знаков, то площадь фигуры, заключенная между кривой y=f(x) и осью OX, равна s= . Вычи-сление площади криволинейного сек-тора. Пусть кривая AB зада-на в поля-рных координатах уравнением ,, причем - непрерыв-ная и неотрицательная на отрезке [a, b] функция. Фигуру, ограниченную кривой AB и двумя полярными радиу-сами, составляющими с полярной осью углы a,b, будем называть криво-линейным сектором. Площадь криво-линейного сектора может быть вычислена по формуле s= Вычисление длины дуги плоской кривой. Если функция y = f(x) непрерывна вместе с её производной f'(x) на отрезке [a, b], то длина дуги AB, где A(a,f(a)), B(b, f(b)), выражается формулой (x)dx.

23.Обыкновенные дифференциаль-ные уравнения. Общее и частное решение. Дифференциальные урав-нения первого порядка. Задача Коши. Обыкновенным дифферен-циальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов):f(;(1) (все три переменные x, y, F - действительны).

Опр. Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифферен-циала). Пример: y(4) – y + x = 0 - уравнение четвёртого порядка. Опр. Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или беско-нечном) называется любая n раз диф-ференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество. Так, функция y(x) = + x обращает уравнение: y(4) – y + x = 0 в тождество на всей числовой оси (y(4)(x) = ; –( +x) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка имеет мно-жество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y(x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциаль-ного уравнения часто называют инте-грированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.

Опр. Общим решением (общим интег-ралом) уравнения (1) называется такое соотношение; (2)1.Любое решение (2) y= относительно y (для набора постоянных C1, C2, …, Cn из некоторой области n-мерного пространства) - частное решение уравнения (1);2.Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn. Мы будем в основном рассматривать дифферен-циальные уравнения в форме, разре-шённой относительно старшей произ-водной:; (3) и получать общее решение в форме; y= (4) решённой относительно неизвестной функции. Если в уравнении yn=f(x,y,y’,…yn-1) функция f и ее частные производные y, y', y''… непрерывны в некоторой области содержащей значения x=x0, y=y0, y’=y’0, …, то существует и при том единственное решение y=y(x) уравнения удовлетворяющего условию y(x0)=y0, y’(x0)=y’0…, которые называются начальными условиями.Общим решением ДУ n-ого порядка называется функция y=φ(x, C1, C2…), зависящая от n- произвольных постоянных и такая, что она удовлетворяет ДУ при любом значении постоянных с, с1, с2…, а при заданных начальных условиях y(x0)=y0, y’(x0)=y’0… Всякая функ-ция, полученная из общего решения при конкретном значении С1, С2… называется частным решением. Зада-ча нахождения называется задачей Коши. Теорема Коши (существования и решения задачи Коши). Если в области D функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную произ-водную , то для любой точки в окрестности точки x0 сущ. единственное решение задачи. Мы примем эту теорему без доказате-льства. На самом деле для сущ. реше-ния в окрестности точки x0 доста-точно только непрерывности функции f(x, y); условие непрерывности обеспечивает единственность этого решения.

24.Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Общее решение. Пусть y(x) — некоторая функция, — ее производная. Для удобства будем записывать производную виде , имеющем смысл отноше-ния бесконечно малых приращений — дифференциалов. Дифференциал dx — приращение значения переменной в окрестности x, стремящееся к нулю. Дифференциал функции dy — малое приращение функции,dy=f(x+dx)-f(x)= . Пусть f(x) и g(y) — некоторые функции от x и y. Рассмотрим ур-е ; Уравнение такого вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися пере-менными. Умножим его на: Последнее равенство озна-чает, что малые приращения левой и правой частей равны. Поэтому их суммы также равны. Предположим что при , и возьмем интегралы от левой и правой частей. Пределы интегрирования — от до для левой части и от для x для правой части уравнения: Решая получившееся в результате интегрирования алгебраи-ческое уравнение, мы можем выра-зить. Значения и называются начальными условиями. В случае других начальных условий решение уравнения будет отличаться на постоянную. Поэтому, если началь-ные условия не даны, можно взять первообразные левой и правой частей и прибавить к ним константу. Испол-я неопределенный интеграл — обозначение множества первообразных —, где f(x) — первообразная f(x), C — произвольная постоянная, запишем это в виде Следует отметить, что у дифференциального уравнения с разделяющимися пере-менными могут сущ. так называемые нулевые решения — постоянные y, удовлетворяющие уравнению g(y)=0. При них равны нулю как правая, так и левая части дифференциального уравнения (поскольку производная константы равна нулю).

25.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Общее решение. Определение линейного уравнения первого порядка. Диффе-ренциальное уравнение вида где a(x) и b(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифферен-циальным уравнением первого поряд-ка. Мы рассмотрим два метода реше-ния указанных уравнений: Исполь-зование интегрирующего множителя;

Метод вариации постоянной. Исполь-зование интегрирующего множителя

Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме: то интег-рирующий множитель определяется формулой: Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u(x) преобразует ее в производную произ-ведения y(x) u (x). Общее решение диффференциального уравнения вы-ражается в виде: ; где C − произвольная постоянная. Метод вариации постоянной. Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения: Общее решение одно-родного уравнения содержит постоян-ную интегрирования C. Далее мы за-меняем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C(x). Подставляя это решение в неод-нородное дифференциальное ур-е, можно определить функцию C(x). Описанный алгоритм называется ме-тодом вариации постоянной. Разуме-ется, оба метода приводят к одинако-вому результату.

26.Числовые ряды. Сходимость. Необходимый признак сходимости числового ряда. Числовой ряд – это сумма членов числовой последо-вательности вида называют общим членом числового ряда или k–ым членом ряда. Частичная сумма чис-лового ряда – это сумма вида , где n – некоторое натуральное число. Назы-вают также n-ой частичной суммой числового ряда. Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел после-довательности частичных сумм. Если предел последовательности частич-ных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся. Суммой сходящегося числового ряда называется предел последо-вательности его частичных сумм, то есть, Если сходится числовой ряд , то сходящимся будет и ряд . Другими словами, сходящимся будет и ряд без первых m членов. Если к сходящемуся числовому ряду добавить несколько чле-нов (от первого до m-ого), то получе-нный ряд также будет сходящимся.

Если сходится числовой ряд и его сумма равна S, то сходящимся будет и ряд , причем , где A – произ-вольная постоянная. Если сходятся числовые ряды и , их суммы равны A и B соответс-твенно, то сходящимися будут ряды и , причем их суммы будут равны A + B и A - B соответственно.

27.Достаточные признаки сходи-мости для положительных число-вых рядов. Для сходимости знакопо-ложительного числового ряда Необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.Начнем с признаков сравнения рядов. Их суть заключается в сравнении исследуе-мого числового ряда с рядом, сходи-мость или расходимость которого известна. Первый, второй и третий признаки сравнения. Первый признак сравнения используется очень часто и представляет собой очень мощный инструмент исследования числовых рядов на сходимость. Основную проблему представляет подбор подхо-дящего ряда для сравнения. Ряд для сравнения обычно (но не всегда) вы-бирается так, что показатель степени его k-ого члена равен разности пока-зателей степени числителя и знаме-нателя k-ого члена исследуемого числового ряда. К примеру, пусть разность показателей сте-пени числителя и знаменателя равна 2 – 3 = -1, поэтому, для сравнения выбираем ряд с k-ым членом , то есть, гармонический ряд. Второй признак сравнения. Пусть и – знакополо-жительные числовые ряды. Если , то из сходимости ряда следует сходимость .Если , то из расхо-димости числового ряда следует расходимость . Третий признак сравнения. Пусть и - знакополо-жительные числовые ряды. Если с некоторого номера N выполняется условие , то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .

28.Знакочередующиеся ряды. Абсо-лютная и условная сходимость. Достаточный признак Лейбница. Ряд называется знакочередующимся, если любые два его соседних члена суть числа разных знаков называется абсолютно сходящимся, если сходится.Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, но не является абсолют-но сходящимся. Достаточный признак Лейбница. Пусть для знакочередую-щегося ряда выполняются следующие условия: (монотонное невозрас-тание {an} по абсолютной величине) Тогда этот ряд сходится.

29.Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус, интервал и область сходи-мости степенного ряда. Опреде-ление. Степенным рядом называется ряд вида a(/0)+a(/1)x+a(/2)x(\2)+...+a(/n)*x(\n)+...=SUM(/n=0)(\inf)a(/n)x(\n) (1). Постоянные a0, a1,a2,... называются коэффициентами степенного ряда. Множество тех значений x при которых ряд (1) сходится, называется областью его сходимости. Это мно-жество всегда не пусто, так как любой ряд сходится при x=0.частичная сумм-ма степенного ряда Sn(x)=a0+a(/1)x+...+a(/n)*x(\n). Явл. функцией переменной x. Поэтому и сумма ряда S также является некоторой функцией переменной x, определенной в области сходимости ряда. S=S(x)=SUM(/n=0)(\inf)a(/n)x(\n) или f(x)=SUM(/n=0)(\inf)a(/n)x(\n)

Теорема Абеля. Если степенной ряд a0+ a1x+ a2x(\2)+…+ anx(\n)+…(*) сходится в точке x0<>0, то он абсолютно сходится в интервале (-|x0|,|x0|), т.е. при всяком х, удовлетворяющем условию|x|<|x0|

Если степенной ряд a0+ a1x+ a2x(\2)+…+ anx(\n)+… (*) расходится при x=x1, то он расходится для всякого х, удовлетворяющем условию|x|>|x1|. Доказательство всле-дствие сходимости ряда SUM(/n=1)(\inf)a(/n)x0(\n) его общий член стремится к нулю: a(/n)x(/0)(\n)->0; поэтому все члены этого ряда ограничены в своей совокупности, т.е. существует такое постоянное положи-тельное число М, что при всяком n имеет место неравенство |a(/n)x(/0)(\n)|<M. Запишем ряд (*) так a0+a1*x0(x/x0)+a2*x0(\2)*(x/x0)(\2)+..+an*x0(\n)*(x/x0)(\n)+.., и составим ряд из абсолютных величин членов этого ряда: |a0|+|a1*x0|*|x/x0|+|a2*x0(\2)|*|x/x0|(\2)+..+|an*x0(\n)|*|x/x0|(\n)+.., В силу установленного неравенства каждый член здесь меньше соответствующего члена геометрической прогрессии со знаменателем |x/x0|: M+M*|x/x0|+M*|x/x0|(\2)+..+M*

|x/x0|(\2)+.., Если |x|<|x0|, то |x/x0|<1

и прогрессия сходится; поэтому сходится и ряд абсолютных величин, а значит, абсолютно сходится сам ряд (*). Теорема доказана. Несмотря на то, что|an*x(\n)|<|an*x0(\n)|, мы не можем сразу воспользоваться призна-ком сравнения, поскольку в условии теоремы не сказано, что ряд в самой точке x0 сходится абсолютно. Следствие. Если степенной ряд (*) расходится при x=x0, то он расходится и при всяком х, большем по абсолютной величине, чем x0, т.е. при |x|>|x0|. Перейдем к установ-лению области сходимости степенно-го ряда (*). Здесь возможны три слу-чая:1)Область сходимости состоит только из одной точки х = 0, другими словами, ряд расходится для всех значений х, кроме одного. Этот случай может быть иллюстрирован рядом1+x+2(\2)*x(\2)+..+n(\n)*x(\n)+..;

действительно, если х фиксировано и x<>0, то, начиная с достаточно боль-шого n, будет |nx|>1, откуда вытекает неравенство |n(\n)*x(\n)|>1, означа-ющее, что общий член ряда не стре-мится к нулю;2)Область сходимости состоит из всех точек оси Ох, другими словами, ряд сходится при всех х.

Рассмотрим ряд 1+x+(x(\2))/(2(\2))+..

+(x(\n))/(n(\n))+.. Для любого х, начиная с достаточно большого n, будет |x/n|<1. Так как |x/(n+1)|(\n+1)<|x/n|(\n+1), |x/(n+2)|(\n+2)<|x/n|(\n+2) и т.д., то, начиная с номера n, члены ряда по абсолютной величине будут меньше членов сходящейся геометрической прогрессии. Следовательно, при лю-бом х ряд сходится;3)Область сходи-мости состоит больше, чем из одной точки оси Ох, причем есть точки оси, не принадлежащие области сходи-мости. В этом случае на числовой оси наряду с точками сходимости ряда имеются и точки его расходимости.

Из теоремы Абеля и ее следствия вытекает, что все точки сходимости расположены от начала координат не дальше, чем любая из точек расходи-мости. Совершенно ясно, что точки сходимости будут целиком заполнять некоторый интервал с центром в нача-ле координат. Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда.

областью определения является мно-жество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интер-валом сходимости. Если интервал сходимости представляется в виде (, где R > 0, то величина R называется радиусом схо-димости. Сходимость ряда в конеч-ных точках интервала проверяется отдельно. Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись ради-кальным признаком Коши, по форму-ле ; или на основе признака Даламбера: 3

30..Ряды Тейлора и Маклорена. Если функция f (x) имеет непрерыв-ные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

, где Rn – оста-точный член в форме Лагранжа опре-деляется выражением

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. ,то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f(x) в точке a.

Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена::

Дата добавления: 2015-07-10