Общее алгоритмическое описание геодезических проекций

Здесь мы получим общие формулы для вычислений основных характеристик геодезических проекций.

Произведя возведение в степени выражений, стоящих в правых частях (7. 24), а затем воспользовавшись условием равенства комплексных выражений, когда равны их действительные и мнимые части, получаем следующие выражения для связи координат

, (7. 27)

где P_j = P₁P_(j-1) – Q₁Q_(j-1); Q_j = P₁Q_(j-1) + Q₁P_(j-1) при условии P₀ = 1; Q₀ = 0. Это гармонические полиномы, удовлетворяющие уравнению Лапласа. При этом имеем P₁ = Dq; Q₁ = l.

Вычислим производные, входящие в уравнения Коши – Римана (7. 10):

(7. 28)

Теперь выражения для частного масштаба длин и сближения меридианов принимают вид:

(7. 29)

Приведенные формулы работают в прямой задаче, когда по сфероидическим элементам требуется вычислить их образы на плоскости (задача отображения поверхности эллипсоида на плоскости). Если требуется решить обратную задачу, когда по элементам на плоскости проекции требуется вычислить соответствующие сфероидические элементы, берем за основу вторые уравнения из (7. 21) – (7. 26). В результате аналогично получим:

Для связи координат в обратном переходе получаем уравнения

; (7. 30)

где P^/ _j = P^/ ₁P^/ _(j-1) – Q^/ ₁Q^/ _(j-1); Q^/ _j = P^/ ₁Q^/ _(j-1) + Q^/ ₁P^/ _(j-1) при условии P^/ ₀ = 1; Q^/ ₀ = 0. Это также гармонические полиномы, удовлетворяющие уравнению Лапласа. Здесь следует иметь в виду также P^/₁ = Dx; Q^/₁ = Dy.

Для частного масштаба длин и сближения меридианов имеем также

(7. 31)

Здесь производные, входящие в уравнения Коши – Римана получают выражения

(7. 32)

Как видно из полученных выражений, они общие для любой из определенного нами класса геодезических проекций. Вид проекции определяется только коэффициентами характеристических уравнений (7. 26).

Аналогичным образом можно получить общие алгоритмические выражения для уравнений связи полярных и параметрических координат.

Дата добавления: 2015-07-10