Способ аддитаментов и порядок решения треугольников

Для треугольника АВС рис. 5. 1 можем записать по теореме синусов сферической тригонометрии

. (5. 10)

Далее представляем синусы малых аргументов в виде разложений в ряд по формуле Маклорена с той же точностью, что и в способе Лежандра, в результате получаем

;

. (5. 11)

Несложно заметить, что для любого класса триангуляции или трилатерации величины, вычитаемые из длин сторон (b, a), малые и их называют аддитаментами. Например, для длин сторон s ≤ 60 000м имеем аддитаменты . С учетом этого можем записать вместо (5. 11) для приведенных длин сторон выражение в виде теоремы синусов плоской тригонометрии

. (5. 12)

Отсюда видно, если в сферическом треугольнике из исходной стороны вычесть аддитаменту, получив ее приведенную длину, приведенные длины других сторон можем вычислить по теореме синусов плоской тригонометрии, если использовать уравненные сферические углы треугольника. На практике способ аддитаментов для решения треугольников используют, как правило, для контроля решения способом Лежандра.

Таким образом замечаем порядок решения сферических треугольников по способу аддитаментов.

В триангуляции:

- получают уравненные сферические углы треугольников, для чего из способа Лежандра берут уравненные плоские углы плюс одна треть сферического избытка;

- вычисляют аддитаменту исходной стороны по формуле ;

- вычисляют приведенную длину исходной стороны по формуле ;

- по теореме синусов плоской тригонометрии вычисляем приведенные длины определяемых сторон с контролем

;

- вычисляем аддитаменты определяемых сторон

;

и точные значения сторон сферического треугольника

При вычислении аддитаментов можно использовать как точные, так и приведенные длины сторон. В этом случае для любого класса триангуляции будет обеспечена необходимая точность вычислений сторон, как и в способе Лежандра. Действуя последовательно, решают любое число треугольников.

В трилатерации:

- вычисляют аддитаменты всех сторон треугольников и их приведенные длины ;

- по теореме косинусов плоской тригонометрии вычисляют сферические углы треугольников

Действуя последовательно, решают любое число треугольников.

Вопросы для самоконтроля по разделу 5:

1. Что собой представляет геодезический треугольник?

2. В каких случаях геодезический треугольник можно заменить сферическим?

3. Смысл решения треугольников триангуляции и трилатерации.

4. Сформулировать теорему Лежандра.

5. В каких пределах может изменяться сферический избыток? Примерные величины сферического избытка треугольников триангуляции.

6. Необходимая точность вычислений сферического избытка.

7. Смысл способа аддитаментов.

8. Величины аддитаментов треугольников триангуляции и трилатерации.

9. Необходимая точность вычислений аддитаментов.

10. Что такое приведенная длина стороны треугольника при его решении способом аддитаментов?

Дата добавления: 2015-07-10