Арифметические операции. Определение непрерывности функции

Определение непрерывности функции

Функция , называется непрерывной в точке , если выполняется одно из эквивалентных условий:

1) ; (1)

2) для произвольной последовательности (x_n) значений , сходящейся при n → ∞ к точке x ₀, соответствующая последовательность (f (x_n)) значений функции сходится при n → ∞ к f (x ₀);

3) или f (x) - f (x ₀) → 0 при x - x ₀ → 0;

4) такое, что

или, что то же самое,

f: ] x ₀ - δ, x ₀ + δ [ → ] f (x ₀) - ε, f (x ₀) + ε [.

Из определения непрерывности функции f в точке x ₀ следует, что

Если функция f непрерывна в каждой точке интервала ] a, b [, то функция f называется непрерывной на этом интервале.

Арифметические операции

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.

.

Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть .Тогда f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α и β – бесконечно малые функции. Следовательно,

f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).

Так как b + c есть постоянная величина, а α(x) + β(x) – функция бесконечно малая, то

.

Дата добавления: 2015-07-10