Коефіцієнт питомого ковзання

Розглянемо тепер інші складові швидкості точки контакту — V_k1^τ і V_k2^τ. Ці складові не рівні між собою, інакше повинні бути рівні між собою швидкості V_k1 і V_k2 як за величиною, так і за напрямком. Як видно з рис. 1.9, така рівність можлива лише в одному положенні механізму, коли точка К контакту зубів буде збігатися з полюсом Р. Для всіх інших положень ланок передачі . В результаті цього має місце відносне ковзання профілів зубів у напрямку їх спільної дотичної t — t. Причому, чим далі знаходиться точка К від полюса зачеплення, тим більша швидкість ковзання. Ковзання зубів є основною причиною втрат енергії на тертя спрацювання.

Як видно з рис. 1.9, швидкість ковзання профілів зубів

V_S = V_k2^τ - V_k1^τ (1.15)

Можна показати, що для зовнішнього зачеплення

V_S = PK(ω₁+ω₂) (1.16)

для внутрішнього зачеплення

V_S = PK(ω₁-ω₂) (1.17)

Отже, чим далі розташована точка контакту К відносно полюса зачеплення Р, тим більша швидкість ковзання.

При одній і тій самій швидкості ковзання спрацювання у спряжених профілях може бути різним. Для кількісної оцінки спрацювання вводиться поняття питомого ковзання зубів, під яким розуміють відношення швидкості ковзання точки контакту зубів до дотичної складової швидкості точки контакту відповідного колеса. Коефіцієнт питомого ковзання зубів λ визначається як:

(1.18)

Для побудови діаграм питомого тиску можна використати такі формули [2]:

де е = В₁В₂ — довжина теоретичної лінії зачеплення (див. рис. 1.9); u₁₂ = ω₁/ω₂= z₂/z₁; u ₂₁ = ω₂ / ω₁ = z₁ / z₂; х — відстань від точки В₁ дотику лінії зачеплення з основним колом першого колеса, яку відраховуємо у напрямку до точки В₂. На рис. 1.11 показано приклади діаграм питомого ковзання.

При цьому треба враховувати, що кут повороту зубчастого колеса пропорційний відрізкам лінії В₁В₂.

У полюсі зачеплення Р питоме ковзання дорівнює нулю, отже, профілі перекочуються один по одному без ковзання.

На початкових головках зубів, що розташовані між колом вершин і початковим колом, питоме ковзання невелике; на початкових ніжках (між початковим колом і колом западин) питоме ковзання значно більше, ніж на початкових головках. На початковій ніжці першого колеса (шестірні) питоме ковзання значно більше, ніж на початковій ніжці іншого колеса.

Це означає, що спрацювання ніжки зуба шестірні при роботі передачі буде значно більшим, ніж спрацювання початкової ніжки зуба колеса.

Рис. 1.11

1.6. Властивості й рівняння евольвенти кола

Для побудови головного профілю зубів циліндричних зубчастих коліс, що використовуються в машинобудуванні, насамперед застосовується евольвентний профіль. Плоскою евольвентою кола називають траєкторію будь-якої точки, наприклад А (рис. 1.12).

Евольвента прямої лінії, яка перекочується без ковзання по основному колу радіуса r_b;таке коло ще називають еволютою, а пряму — твірною прямою. Побудова евольвенти кола зображена на рис. 1.12. Проводимо до основного кола твірну пряму, яка дотикається до нього у точці А₀. Потім перекочуємо твірну пряму по основному колу без ковзання. Для цього від точки Д відкладаємо на твірній прямій ряд однакових відрізків А₀ — 1, 1—2, 2—3 і т. д. На основному колі від цієї ж точки відкладаємо дуги і т. д., що дорівнюють цим відрізкам.

Рис. 1.12

При перекочуванні прямої по колу без ковзання точка 1 збігається з точкою 1', точка 2 — з точкою 2' і т. д. Проведемо через точки 1', 2', 3' і т. д. дотичні до кола (для точної побудови дотичної слід спочатку провести радіус у відповідну точку, а потім провести до нього перпендикуляр) і відкладаємо на них з точок дотику відрізки 1' — А₁, 2'—А₂, 3'—А₃ і т. д., що дорівнюють відповідно відрізкам прямої А₀ — 1, А₀ — 2, А₀ — 3 і т. д. (або дугам і т. д.). З'єднуючи точки А₀, А₁, А₂, і т. д. плавною кривою, одержуємо евольвенту.

Широке використання евольвенти при проектуванні профілів зубів пояснюється низкою важливих властивостей. Відмітимо основні властивості евольвенти.

1) Твірна пряма завжди нормальна до евольвенти. Дійсно, точка дотику твірної прямої з основним колом є при утворенні евольвенти миттєвим центром обертання твірної прямої, а тому відповідні відрізки (1—А₁, 2'—А₂, 3'—А₃ і т.д.) є миттєвими радіусами кривизни евольвенти. Оскільки радіус кривизни завжди розміщений нормально до кривої, то твірна пряма завжди нормальна до евольвенти.

2) Евольвента є кривою без перегинів, що дуже важливо при виготовленні різального інструмента.

3) Форма евольвенти залежить тільки від радіуса основного кола, тобто не залежить від параметрів спряженого колеса — це дає змогу використовувати евольвентні зубчасті колеса в коробках передач, тобто у механізмах зі змінними зубчастими колесами, у яких з одним колесом можуть входити у зачеплення колеса з різним числом зубів.

4) Евольвента починається на основному колі і завжди розташована за його межами.

5) Радіус кривизни на початку евольвенти (на основному колі) дорівнює нулю, а радіус основного кола, проведений через початок евольвенти, є плавним продовженням евольвенти всередині основного кола.

6) Дві евольвенти одного основного кола є еквідистантними (рівновіддаленими) кривими, а відстань між ними по спільній нормалі є евольвентним кроком р_а і дорівнює довжині дуги кола між початками кривих, тобто дорівнює основному кроку р_b.

7) Евольвента має дві гілки. Додатну гілку одержуємо при перекочуванні твірної прямої проти руху годинникової стрілки, від'ємну — при перекочуванні за рухом годинникової стрілки. Рівняння евольвенти одержуємо з умови перекочування твірної прямої по основному колу без ковзання.Деяке довільне положення твірної прямої (рис. 1.13), яке відповідає точці Y евольвенти.

Нехай координатами точки Y евольвенти будуть: r_у — радіус-вектор і θ — кут відхилення радіуса-вектора r_у від радіуса r_А, проведеного через початок евольвенти А. Проводимо через точку Y дотичну до основного кола радіуса r_ь.

Рис. 1.13.

Точка дотику М є для евольвенти у точці Y центром кривизни, а відрізок МY — її миттєвим радіусом кривизни. Точку дотику М з'єднаємо з центром основного кола O, і позначимо кут між променями ОМ і ОY через а_у. Цей кут називається кутом профілю — гострий кут між дотичною до профілю у відповідній точці Y і радіусом-вектором цієї точки r_у. Цей кут дорівнює куту МОY, оскільки лінія ОМ і дотична у точці У паралельні одна одній.

Із трикутника ОМY маємо

8) (9.19) 385

r_y = r_b /cosα_y (1.19)

Оскільки евольвента одержана перекочуванням твірної прямої відносно основного кола без ковзання, то МY ≈ МА. Враховуючи, що і отримуємо:

або

Розв'язуючи це рівняння відносно θ, маємо

Вираз скорочено позначають знаком і читають "інволюта альфа-ігрек":

(1.20)

Кут називається евольвентним кутом; він позначає кут між радіусами, проведеними через початок евольвенти А і точку Y. Для інвалютної функції складено таблиці, з яких за значеннями кута θ можна визначити функцію або навпаки.

Рівняння (1.19) і (1.20) є рівняннями евольвенти кола у параметричному вигляді.

Зазначимо, що положення точки Y на евольвенті можна задати будь-яким кутом із кутів , або радіусом-вектором r_у, що проходить через початок евольвенти А, і радіусом р_w, проведеним через центр кривизни М евольвенти у точці Y.

Радіус кривизни евольвенти у точці Y

(1.21)

Одним із багатьох важливих факторів, які лежать в основі досягнень сучасної техніки, є взаємозамінність, тобто здатність спряжених деталей з'єднуватись одна з одною без спеціальної пригонки або підбору. Взаємозамінність можлива лише на базі стандартизації, тобто при суворій регламентації форми, розмірів, якості й точності різних деталей та виробів.

Зубчасте колесо — одна із найскладніших і точних деталей машин; для його виготовлення вимагається спеціальне дороге обладнання, різальний та вимірювальний інструмент. Тому стандартизація параметрів зубчастого зачеплення важлива як з технічної, так і з економічної точки зору.

За базу при стандартизації зубчастих коліс можна прийняти різні параметри. На основі багаторічної практики при стандартизації коліс і зуборізного інструменту в усіх країнах світу приймають параметри зубчастої рейки з прямолінійним профілем (рис. 1.14). Рейковий профіль, який покладено в основу стандарту, називається теоретичним вихідним контуром (ТВК) або коротко - вихідним контуром. Параметри вихідного контуру стандартизовані (ГОСТ 13755—68).

Рис. 1.14

Це прямобічний рейковий контур із рівномірно розташованими симетричними зубами трапецієподібної форми; перехід від профілю зуба до лінії западин викреслений дугою кола.

За базу для визначення елементів зубів та їх розмірів вибирають ділильну пряму (площину), яка перпендикулярна до осей симетрії зубів рейки, і товщина зуба на ній дорівнює ширині западини (s = е = р/2). Частина зуба, що знаходиться між ділильною поверхнею і поверхнею вершин, називається ділильною головкою зуба; а частина зуба між ділильною поверхнею і поверхнею западин — ділильною ніжкою зуба.

Відстань між однойменними профілями сусідніх зубів по ділильній або будь-якій іншій паралельній прямій називають кроком р вихідного контуру:

(1.22)

Висота ділильної головки зуба вихідного контуру

(1.23)

де — коефіцієнт висоти головки зуба (відношення висоти головки зуба до модуля: ).

Ділильна ніжка зуба вища від головки на величину . Виличина с – це радіальний зазор, де с* — коефіцієнт радіального зазору ( ). Отже, коефіцієнт висоти ніжки зуба , величина h^*_f - це висота ділильної ніжки зуба.

(1.24)

Кут α між бічною стороною та віссю зуба називається кутом профілю вихідного контуру.

ГОСТ 13755—68 регламентує параметри вихідного контуру:

h* = 1,0; с* = 0,25; α = 20°.

При цьому висота зуба

(1.25)

Прямолінійний профіль вихідного контуру плавно спряжений з лінією його западин дугою радіуса

(1.26)

де — коефіцієнт радіуса перехідної кривої ().

Геометричні параметри різального інструменту визначаються вихідним твірним (виробничим) контуром (ВТК), або коротко — твірним контуром (рис. 1.15). Вихідним твірним рейковим контуром називають контур зубів рейки, який ніби заповнює западини теоретичного вихідного профілю, як відливка заповнює форму. При цьому між лінією западин твірного контуру й лінією вершин вихідного зберігається радіальний зазор для того, щоб поверхня западин різального інструменту не брала участі в процесі різання. У межах цього зазору зберігається також перехід по дузі кола від профілю зуба до лінії западин ВТК.

Отже, вихідний твірний контур має ділильну ніжку такої самої форми і розмірів, як і вихідний контур. Для одержання радіального зазору в зубчастому зачепленні ділильна головка твірного контуру виготовляється вищою за головку вихідного контуру на величину с. Отже, ділильна пряма твірного контуру ділить зуб по висоті на дві рівні частини, а повна висота зуба

(1.27)

Рис. 1.15.

Колесо із зовнішніми зубами, нарізане твірним рейковим контуром при збереженні на ділильному колі теоретичної товщини зуба і теоретичного радіального зазору с*т у западині рейки, називають твірним зубчастим колесом. Таке колесо є різальним інструментом при зубодовбанні.

1.7. Деякі відомості про способи нарізання зубчастих коліс

Зубчасті колеса можна виготовляти різними способами: різанням, литвом, пластичною деформацією (штамповка або накатка). Найточніші зубчасті колеса одержують різанням із використанням доводкових операцій.

Існують два принципово різні способи нарізання зубів: копіювання та обкатка.

Спосіб копіювання. При цьому способі зубчасті колеса нарізають інструментом, профіль якого точно збігається з профілем западин колеса, що

нарізується, тобто профіль інструмента копіюється на колесі (рис. 1.16, а, б, в).

Інструментом може бути модульна (дискова або пальцьова) фреза. Обертаючись, фреза пересувається вздовж куба. За кожний хід фрези нарізується одна западина. Після цього заготовка повертається на кутовий крок

За допомогою цього методу можна нарізати прямозубі, косозубі та шевронні зубчасті колеса, для останніх заготовка в процесі нарізання повертається на відповідний кут. Використовують також інструмент, що обробляє всі западини одночасно — протяжки, зубодовбальні головки тощо.

Основний недолік способу копіювання полягаєв тому, що різальний інструмент є фасонним, тобто має криволінійні різальні кромки і при його виготовленні неминучі похибки, які передаються колесу, що нарізується. Крім цього, при використанні набору модульних фрез доводиться навмисно вносити ще й додаткові похибки за таких причин: діаметр основного кола,

за евольвентою якого обкреслений профіль зубів, визначається модулем т і числом зубів z колеса, що нарізується.

Рис. 1.16

Очевидне, що для кожного сполучення т і z треба мати окрему фрезу; оскільки в стандарті більше 50 модулів, а число зубів, які використовуються, перевищує 100, то в універсальному комплекті повинно бути понад 5000 фрез.

Для скорочення номенклатури інструменту діапазон чисел z розбивають на інтервали і в межах кожного інтервалу використовують одну і ту саму фрезу для нарізання коліс із різними числами.

Через низьку точність коліс і малу продуктивність процесу нарізання методом копіювання доцільно цей метод використовувати лише в індивідуальному або дрібносерійному виробництві для виготовлення малонавантажених і тихохідних передач.

Шліфувальні круги, різці й протяжки профілюють для кожного конкретного колеса, і похибки, викликані невідповідністю інструменту числу зубів колеса, що нарізуються, у цьому випадку відсутні.

Недоліком методу копіювання є також те, що для реалізації будь-якої зміни в геометрії зубів необхідно виготовляти спеціальний інструмент, що пов'язано зі значними трудовими і матеріальними затратами. Процес нарізання зубів протяжками та зубодовбальними головками продуктивний, але через складність і високу вартість інструменту доцільно такий процес використовувати лише в масовому виробництві.

Спосіб обкатки (огинання). При цьому способі в основу геометрії інструменту покладено так зване твірне колесо або рейку, бічні поверхні зубів яких мають різальні кромки.

При нарізанні зубів твірному колесу (інструменту) і колесу (заготовці), що нарізується, надають такого відносного руху, який би мали ці колеса, перебуваючи в зачепленні один з одним. Зачеплення твірного колеса з оброблюваним колесом називають верстатним зачепленням. Отже, у верстатному зачепленні відтворюється перекочування без ковзання початкових поверхонь інструменту й колеса, що нарізується, — чим і пояснюється назва способу обкатки.

На рис. 1.16, г зображено нарізання зубів евольвентним твірним колесом (зуборізним довбачем). Довбач здійснює поступальний рух паралельно осі колеса (заготовки), що нарізається.

Одночасно довбачу та заготовці надають обертового руху з тим самим відношенням швидкостей, які б мали довбач і колесо, знаходячись у зачепленні. Тоді профіль зуба виходить як огинаюча всіх положень різальної кромки довбача (рис. 1.16, є). Особливість цього методу полягає в тому, що він дає можливість нарізати колеса з внутрішніми зубами (рис. 1.16, д).

Оскільки для будь-якого зубчастого колеса можна спроектувати спряжену з колесом зубчасту рейку, то замість колеса-інструмента може бути інструментом також рейка, яка називається інструментальною рейкою, або гребінкою. У процесі нарізання рейка здійснює вздовж осі заготовки зворотно-поступальний рух (рис. 1.16, е). Заготовка має подвійний рух у горизонтальній площині: обертовий навколо своєї осі і поступальний вздовж рейки. Отже, заготовка здійснює рух колеса відносно рейки, і профілі зубів колеса одержують процесом обкатки. Весь цей процес здійснюється на спеціальних зубодовбальних верстатах.

Гребінка — найпростіший, а тому найточніший інструмент рейкового типу. Проте число зубів гребінки обмежене, оскільки довгі гребінки важко виготовляти, а число зубів коліс, що нарізуються, частіше всього більше від числа зубів гребінки, то процес обкатки не може бути безперервним. Після того, як заготовка перекотилась по всій довжині гребінки, процес обкатки припиняється, заготовку повертають у вихідне положення і продовжують обкатку. Таке періодичне переривання зменшує точність і продуктивність зубонарізання, ускладнює верстат.

Для того, щоб зробити процес обкатки безперервним, використовують черв'ячні фрези. Черв'ячна фреза (рис. 1.17, б) — це гвинт із трапецієподібною нарізкою (рис. 1.17, в), профіль якої у нормальному перетині такий самий, як і профіль твірної рейки. Для утворення різальних кромок уздовж осі прорізані канавки (рис. 1.17, б). Зачеплення фрези з колесом, що нарізається, аналогічне зачепленню черв'яка з черв'ячним колесом (рис. 1.17, а).

Рис 1.17

При цьому фреза та заготовка одержують обертовий рух, який би вони мали, перебуваючи в зачепленні.

Щоб нарізати зуб по всій ширині зубчастого вінця, фреза (або заготовка), крім обертання, одержує подачу вздовж осі колеса. Фреза встановлюється відносно заготовки так, щоб її витки у місці знімання стружки були паралельні твірній циліндра-заготовки (рис. 1.17, в), тобто вісь фрези повинна утворювати з торцевою поверхнею заготовки кут β, який дорівнює куту підйому середньої лінії гвинтової поверхні витків фрези.

Останніми роками поширився новий метод обкатки — накатка зубчастих коліс у холодному (для дрібномодульних коліс, т < 2 мм), або гарячому стані, який полягає у наступному. Інструменту у вигляді зубчастого колеса і заготовці надають на верстаті такі відносні рухи, ніби вони перебувають у дійсному зачепленні. При цьому завдяки пластичній деформації інструмент формує на заготовці зуби евольвентного профілю.

Значною перевагою всіх методів обкатки є висока продуктивність, велика точність і мала кількість інструменту. Одним інструментом (даного модуля) можна нарізати зубчасті колеса з будь-яким числом зубів та змінювати геометрію зубчастих коліс.

На рис. 1.17, г, зображені схеми нарізання конічних зубчастих коліс. У першому випадку (рис. 1.17, г) показано нарізання коліс на зубостругальному верстаті, у другому — на фрезерних верстатах за допомогою обертової різцевої головки.

При зубоструганні різальний інструмент відносно колеса, що нарізується, здійснює два основні рухи: технологічний, який забезпечує зрізання й виведення матеріалу з об'єму, що займає западина, і рух огинання, який забезпечує відповідне профілювання бічних поверхонь зубів. Для нарізання використовують два різці, які здійснюють зворотно-поступальний рух вздовж твірних конуса западин. Кожний із різців обробляє одну бічну поверхню зуба. Сформувавши один зуб, різці відводять, заготовка повертається на кутовий крок, і процес нарізання повторюється.

1.8. Розрахунок геометричних параметрів циліндричних прямозубих зубчастих коліс з умови верстатного зачеплення

Розглянемо зачеплення зубчастого колеса, що нарізається, з прямозубою твірною рейкою, в процесі якого на заготовці формуються зуби відповідної геометрії та розмірів [11]. Картину зачеплення будемо розглядати в торцевому перетині (рис. 1.18, а).

У рейковому зачепленні рейка здійснює поступальний рух, а колесо — обертовий. Такі ж рухи повинні виконувати ланки верстатного зачеплення. Необхідну швидкість у₀ руху твірної рейки, яка спрямована паралельно ділильній прямій, визначають із співвідношення

V₀ = ω_ir_i (1.28)

де ω_i — кутова швидкість заготовки; r_i — радіус ділильного кола зубчастого колеса, що нарізається. У цій формулі й далі індекс 0 позначає параметри ріжучого інструменту, а індекс i = 1 або i = 2 — відповідно шестірні або колеса. Індекс i можна опустити, коли його значення неістотне.

Із формули (1.28) випливає, що при нарізанні зубчастого колеса рейковим інструментом ділильне коло є центроїдою у відносному русі твірного контуру і торцевого перетину заготовки. Інакше кажучи, в процесі нарізання деяка лінія твірного контуру, що дотикається ділильного кола, перекочується по ньому без ковзання. Така пряма твірного контуру називається початковою. На рис. 1.18, а ділильна пряма 1 знаходиться на відстані x_i m від ділильного кола, а значить, від початкової прямої 2. Ця відстань називається зміщенням вихідного твірного контуру, де x_i = x_im /т — коефіцієнт зміщення. Зміщення вважається додатним, якщо ділильна пряма і ділильне коло не перетинаються (рис. 1.18, а).

Зубчасті колеса, зуби яких утворені при х = 0, тобто коли початкова пряма твірного контуру є його ділильною прямою, називаються зубчастими колесами без зміщення (інколи — нульовими). При х ≠ 0 одержуємо зубчасті колеса із зміщенням.

Рис. 1.18.

При обкатці зубчастого колеса рейковим інструментом зуб рейки профілює западину, а западина — зуб колеса, що нарізається. Оскільки всі розміри початкової прямої твірної рейки переносяться без зміни на дугу ділильного кола, товщина зуба колеса по цій дузі S_i (ділильна колова товщина зуба) дорівнює ширині западини e_w0 рейки на початковій прямій. При зміщенні (рис. 1.18, а) ширина западини рейки на початковій прямій

ускладнень не викликає і досягається встановленням інструменту на відповідній відстані від вісі заготовки. Можливість вибору зміщення при нарізанні зубчастих коліс дає змогу керувати у широких межах геометричними та якісними характеристиками передач, ускладнень не виникає, якщо досягається встановлення інструменту на відповідній відстані від вісі заготовки. Можливість вибору зміщення при нарізанні зубчастих коліс дає змогу керувати у широких межах геометричними та якісними характеристиками передач.

На рис. 1.18б, зображено профілі зубів трьох коліс, що мають однакову кількість зубів, нарізані одним і тим самим інструментом, але з різним зміщенням: х₁ < х₂ < х₃. Колеса мають однакові радіуси ділильного й основного кіл, а значить, профілі зубів усіх трьох коліс окреслені однією й тою самою евольвентою, але товщини зубів s₁ = аb, s₂ = ас, s₃ = аf і радіуси кіл вершин r_а1, r_а2, r_а3 у коліс будуть різними.

Із збільшенням коефіцієнта зміщення х товщина зуба біля основи збільшується, а біля вершини зменшується, тобто коефіцієнт змішення суттєво впливає на форму зуба. Отже, з трьох зубів, що розгля­даються, зуб третього колеса буде найміцнішим. Крім цього, для евольвентної частини профілю зуба третього колеса використовується ділянка евольвенти, яка найвіддаленіша від її основного кола і має більший радіус кривизни, що сприяє зменшенню спрацювання і контактних напружень бічної поверхні зуба. Таким чином, вибираючи при проектуванні той чи інший коефіцієнт зміщення, можна впливати на форму зубів і на якість зубчастої передачі, наділяючи її необхідними властивостями. Проте слід зауважити, що така залежність форми зубів і властивостей передачі від коефіцієнта зміщення х суттєво відчутна при малих числах зубів і послаблюється в міру збільшення і.

Враховуючи, що початкова пряма інструменту обкочується без ковзання по ділильному колу заготовки, крок зубів твірного контуру слід відкласти z_i разів на ділильному колі зубчастого колеса, яке нарізується. Причому зміщення інструменту відносно заготовки не змінює кроку по дузі ділильного кола (ділильного колового кроку), оскільки крок рейки по будь-якій прямій, паралельній ділильній, залишається сталим (див. рис. 1.14) — p=πm. Змінюється лише співвідношення між товщиною зуба , і шириною западини зубчастого колеса ().

Тому при нарізанні зубчастого колеса із зміщенням х ділильна колова товщина його зуба

(1.29)

а ширина його западини (ділильна колова ширина западини)

(1.30)

Дно западини зубчастого колеса профілюється вершиною зуба твірної рейки. Тому розмір ділильної ніжки зубчастого колеса визначається глибиною проникнення зуба рейки у заготовку. Згідно з рис. 1.18, а

(1.31)

Тоді радіус кола западин

(1.32)

де — радіус ділильного кола зубчастого колеса .

Для знаходження радіуса основного кола використаємо основну теорему зачеплення, згідно з якою спільна нормаль у точці дотику Y спряжених профілів (рейки і колеса) повинна проходити через полюс верстатного зачеплення і бути дотичною до основного кола (див. підрозділ 1.6). Тому перпендикуляр до нормалі YР₀ буде радіусом r_d основного кола зубчастого колеса, яке нарізується. Враховуючи, що перпендикуляр і профіль рейки паралельні, кут P₀O_iB дорівнює куту профілю α вихідного твірного контуру. Тоді з трикутника O_i P₀B знаходимо

(1.33)

Необхідно зазначити, що в момент збігання профілю рейки з полюсом P₀ (штрихова лінія) буде профілюватися точка евольвенти, що лежить на ділильному колі. Як видно з рисунка, кут профілю зуба колеса у точці, що лежить на ділильному колі, дорівнює куту α твірного контуру. Кут профілю у точці У позначимо ∆α.

1.9. Розрахунок геометричних параметрів циліндричної прямозубої зубчастої передачі з умови щільного зачеплення двох коліс

При щільному зачепленні зубчастих коліс (без бічного зазору між зубами), що нарізані зі зміщенням твірного контуру тх, центроїдами у відносному русі будуть початкові кола. Радіуси цих кіл можна визначити з трикутників(рис. 1.19):

(1.34)

де — кут зачеплення.

Кутом зачеплення називають кут між лінією зачеплення і прямою, перпендикулярною до лінії центрів. Цей кут чисельно дорівнює куту профілю зубів кожного з коліс передачі у точці, що лежить на початковому колі.

Рис. 1.19.

Маючи на увазі, що та враховуючи формули

(1.6) і (1.33), записуємо

(1.35)

або

(1.36)

де

(1.37)

Тут а — ділильна міжосьова відстань, що дорівнює сумі радіусів ділильних кіл зубчастих коліс.

Різниця міжосьової і ділильної αвідстаней називається сприймальним (видимим) зміщенням і позначається

, (1.38)

де у — коефіцієнт сприймального зміщення, що виражається залежністю

(1.39)

На рис. 1.19 сприймальне зміщення ту визначається найменшою відстанню між ділильними колами. Зокрема, якщо або то

Виразами (1.35) або (1.36) можна скористатися лише після того, як буде знайдено кут зачеплення передачі, який можна визначити з умови, що початкові кола перекочуються один відносно одного без ковзання, а значить, товщина зуба по дузі початкового кола одного зубчастого колеса повинна дорівнювати ширині западини іншого по дузі його початкового кола, тобто

(1.40)

Попередньо знайдемо залежність для визначення товщини зуба і ширини западини на дузі довільного радіуса (рис. 1.20), якщо зубчасте колесо нарізане зі зміщенням рейки . На основі рисунку (рис.1.20) можна запи­сати

де ψ — половина кута товщини зуба на ділильному колі (ділильна кутова товщина); ψ _у — половина кутової товщини зуба на дузі кола радіуса r_у.

Замінюючи кутову товщину зуба коловою , одержуємо

Після нескладних перетворень і з урахуванням залежностей (1.7), (1.29), маємо формулу для визначення товщини зуба:

(1.41)

Рис. 1.20.

Аналогічно отримуємо формулу для визначення ширини западини:

(1.42)

Використовуючи залежність (1.41) і (1.42), записуємо товщину зуба шестірні на початковому колі і ширину западини колеса та підставимо у залежність (1.40). Після перетворень з урахуванням формули (1.34) одержимо рівняння зачеплення циліндричної евольвентної передачі, яке зв'язує кут зачеплення з коефіцієнтом суми зміщень х_Σ = х₁ + х₂ і числами зубів зубчастих коліс z₁ і z₂

(1.43)

Діаметри кіл вершин, а значить, і висота ділильних головок розраховуються з умови одержання бажаного радіального зазору с у зачепленні зубчастих коліс. Стандарт не регламентує строго величину с. Найбільше розповсюдження одержали передачі, в яких радіальний зазор дорівнює с * т, де с*= 0,25. Для таких передач визначимо величину ділильної головки h_а зуба (рис. 1.21).

Рис. 1.21

Як видно з рис. 1.21, відстань між колами западин можна уявити як суму

Тут і далі, як і раніше, індекси і і; можуть набувати тільки два незбігаючі значення: 1 або 2. Тоді повна висота зуба

(1.44)

Висота ділильної головки зуба (за умови )

(1.45)

або з урахуванням залежності

(1.46)

Отже, радіус кола вершин

(1.47)

У ГОСТ 16532—70 розрахунок геометрії зубчастої передачі наведений з використанням коефіцієнта зрівняльного зміщення

(1.48)

У такому випадку формула для визначення радіуса кола вершин має вигляд

(1.49)

1.10. Особливості геометрії косозубих циліндричних передач

Раніше розглядались здебільшого зачеплення прямозубими циліндричними колесами [6-13]. У таких передачах контакт між зубами проходить по прямій, паралельній осям обертання, причому зуби одночасно по всій довжині входять у зачеплення й одночасно виходять із нього. Картина зачеплення у будь-якій площині, перпендикулярній до осі обертання коліс, однакова за геометрією і часом. Тому неточності, які завжди мають місце при виготовленні зубчастих коліс (наприклад, неточність профілю, несталість кроку та ін.), а також деформації та спрацювання деталей погіршують їх роботу (збільшується шум, зменшується довговічність передачі тощо). Крім цього, плавність роботи у прямозубих передач порівняно невелика.

Для усунення вказаних недоліків, як уже зазначалось, на практиці часто використовують косозубі або шевронні циліндричні передачі (рис. 1.3, б, в).

Бічну поверхню косого зуба утворює пряма АВ₁ поверхні N (рис. 1.22, а), яка обкочується без ковзання відносно основного циліндра радіуса г_ь. Пряма АВ₁ утворює з твірною АВ основного циліндра кут β.

Цей кут називають кутом нахилу зубів. Кожна точка прямої АВ1 описує таку ж евольвенту, як і точка А, утворюючи при цьому не циліндричну, а гвинтову лінійчату евольвентну поверхню зуба. Картина зачеплення зубів у косозубій передачі в будь-якому перетині, як і в прямозубій передачі, однакова. Проте на відміну від прямозубої передачі зачеплення у всіх перетинах відбувається несинхронно у часі, тобто зуби входять у зачеплення не зразу по всій довжині, а поступово.

Косозубі циліндричні зубчасті колеса нарізуються рейками, лінії зубів яких складають з віссю колеса, що нарізується, кут β. На рис. 1.22, б зображено план косозубої вихідної твірної рейки, на якій нанесені лінії зубів. При такому розташуванні ліній зубів їх крок можна вимірювати у трьох плоских перетинах рейки:

а) перетин 1—1, нормальний до теоретичної лінії зубів, у якому вимірюють нормальний крок р_n;

б) перетин 2—2, перпендикулярний до осі зубчастого колеса, що нарізується рейкою (торцевий перетин), у якому вимірюють торцевий крок р;

в) перетин З—З (осьовий перетин) площиною, паралельною осі зубчастого колеса, що нарізується рейкою, у якому вимірюють осьовий крок р_х.

Контур зубчастої рейки в нормальному перетині і є тим вихідним твірним контуром, розміри якого залежать від розрахункового модуля т. Тому

(1.50)

Із рис. 1.22, б легко одержати значення торцевого і осьовогокроків зубів залежно від нормального:

(1.51)

Рис. 1.22

(1.52)

де тt і т_х — відповідно торцевий і осьовий модулі

Для розрахунку геометричних параметрів косозубих зубчастих коліс

(1.53)

важливо визначити параметри торцевого контуру косозубої рейки, оскільки цей контур профілює евольвенту зубчастого колеса.

На рис. 1.23 накладено профілі зуба косозубої рейки в торцевому (контурна лінія) і нормальному (штрихова лінія) перетинах.

Рис. 1.23.

Товщина зуба і ширина западини рейки у її ділильній площині рівні між собою, причому в торцевому перетині

(1.54)

Кут профілю αt торцевого перетину рейки визначається з умови, що розмір Н від ділильної прямої до точки перетину бічних профілів зуба у будь-якому перетині один і той самий. Тоді можна записати

і

або

З урахуванням (1.54)

звідки

(1.55)

Коефіцієнт зміщення віднесений до торцевого модуля визначається з рівності зміщень у нормальному і торцевому перетинах:

(1.56)

Доведення формул для розрахунку косозубих передач спеціально можна не виконувати, а використати аналітичні формули для прямозубої передачі, переписавши останні з урахуванням того, що в торцевому перетині необхідно використовувати торцевий модуль т, торцевий кут профілю , і торцевий коефіцієнт зміщення xt. Виняток складають розміри зубів за висотою, при обчисленні яких треба використовувати розрахунковий модуль т, оскільки відповідні розміри рейки однакові у всіх перетинах. У табл. 1.1 наведено деякі розрахункові формули для прямозубих і косозубих зубчастих передач.

Інші параметри (ділильна висота ніжки і головки зуба і

, ділильна міжосьова відстань а, сприймальне зміщення радіус кола вершин) визначаються за формулами, одержаними для прямозубих передач.

Формули розрахунку геометрії косозубих циліндричних передач загальні, і з них легко одержати формули для розрахунку прямозубих передач, прийнявши кут β = 0 (див. табл. 1.1).

Таблиця 1.1

ГЕОМЕТРИЧНІ ПАРАМЕТРИ ЦИЛІНДРИЧНИХ ЗУБЧАСТИХ ПЕРЕДАЧ

Параметр	Прямозубі передачі	Косозубі передачі
Радіус ділильного кола		(9.57)
Радіус основного кола		(9.58)
Ділильна товщина зуба		або з урахуванням (9.55),(9.56) (9.59)
Ділильна ширина западини		(9.60)
Міжосьова відстань		(9.61)
Інволютна функція		(9.62)

1.11. Геометричні та кінематичні умови існування передачі

Профілі зубів, їх розташування відносно ділильного кола, розміри зубів за висотою та їх товщина на кожному зубчастому колесі, а отже, і властивості самої передачі, однозначно визначаються сукупністю значень трьох величин: коефіцієнтів зміщень х_1, х₂ і кута нахилу лінії зуба β. Вибір потрібних значень цих величин для конкретної зубчастої передачі (z₁ z₂, m) — один із перших і важливих етапів її проектування. Невдалий вибір цих параметрів (х₁ х₂, β) може призвести до погіршення кінематичних і міцністних характеристик передачі або навіть до неможливості перетворення руху за заданим законом.

Розглянемо явища, при яких неможлива реалізація запланованих кінематичних функцій передачі, і виведемо залежності, які описують їх [18]. Ці залежності дозволяють сформулювати умови, які повинні задовольняти вибрані значення х₁ х₂ і β, щоб вказані явища були відсутні, тобто сформулювати умови існування передачі. До таких умов належать: 1) забезпечення плавності роботи зубчастої передачі; 2) усунення підрізання зубів; 3) усунення загострення зубів; 4) усунення інтерференції зубів.

1.11.1. Коефіцієнт перекриття

Плавність роботи зубчастої передачі характеризується коефіцієнтом перекриття. [2, 4]. Це показник якості зубчастої передачі. Для його визначення розглянемо пару зубчастих коліс, які перебувають у зачепленні. Нехай зубчасті колеса обертаються так, як показано на рис.1.24. Зуби при цьому будуть стикатися між собою по загальній нормалі NN проведеній через точки контакту зубів. Причому зуби входять у контакт у точці Н₂, а виходять з контакту у точці Н₁. Ці два положення бічних профілів зубів зображено на рисунку: для шестірні — лініями 1, для колеса — лініями 2. Лінія NN називається лінією зачеплення. Частину цієї лінії між точками дотику В₁ і В₂ з основними колами, як уже відомо, називають теоретичною лінією зачеплення, а відрізок q_а = H₁Н₂, що відсікається від лінії зачеплення колами виступів, активною лінією зачеплення. Активна лінія зачеплення є геометричним місцем точок контакту двох спряжених профілів. За межами лінії Н₁Н₂ контакт між зубами відсутній, оскільки він лежить за межами габаритів зубчастих коліс.

Рис. 1.24.

Чим більша довжина активної лінії зачеплення відносно кроку евольвентного зачеплення р_а, тим вища плавність роботи передачі.

Під кроком евольвентного зачеплення розуміють відстаньміж двома контактними точками однойменних головних профілів двох сусідніх зубів. Оскільки однойменні профілі двох сусідніх зубів є еквідистантними кривими, відстань між якими визначається основним коловим кроком р_b, маємо

(1.63)

Точки Н₁ і Н₂ визначають також величину активного (робочого) профілю зубів. Оскільки за межами лінії Н₁Н₂ контакту між зубами коліс немає, точка Н₂ є найближчою до центра обертання О₁ точкою контакту профілю зуба шестірні, а найвіддаленішою від центра О₁ є точка H₁. Отже, частина бічного профілю зуба шестірні Н₂Н1 = Н'₂H₁ є активною, у колеса активним є профіль Н₁Н₂ = Н₂Н" (на рис. 1.23 активні профілі зубів позначені подвійними лініями). Характерно, що довжина активного профілю на головці зуба більша, ніж на спряженій ніжці зуба ( ). Нерівності ділянок профілів, які проходять контактні точки ніжки та головки зуба за однакові проміжки часу (у полюсі зачеплення Р точки e і f збігаються), вказує на наявність відносного ковзання зубів, причому ніжка зуба перебуває у більш напруженому стані і більше спрацьовується

Плавність робота зубчастої передачі характеризується повним коефіцієнтом перекриття, під яким розуміють відношення кута перекриття до кутового кроку τ, тобто:

(1.64)

де — кут перекриття; — центральний кут зубчастого колеса, що відповідає кроку зубчастого колеса.

Кутом перекриття називають кут повороту зубчастого колеса від положення входу зуба у зачеплення до його виходу із зачеплення. Для колеса прямозубої циліндричної передачі (рис. 1.23) .

Практично коефіцієнт перекриття показує число пар зубів, що перебувають одночасно у зачепленні. Наприклад, якщо = 1,57, то зачеплені між собою одночасно одна або дві пари зубів, причому від другої пари становить 57 % часу, але для першої пари — 100 %.

Коефіцієнт перекриття повинен бути більшим від одиниці, інакше порушується плавність роботи передачі (співудари зубів, контакт кромками вершин). Чим вищий коефіцієнт перекриття, тим плавніше працює зубчаста передача, тим більша її несуча здатність. Внаслідок можливої неточності монтажу та спрацювання зубів коефіцієнт перекриття може виявитися меншим за розрахунковий, тому рекомендується вибирати мінімальним коефіцієнт перекриття ε_γ > 1,2,чи навіть ε_γ ≥ 1,05.

Коефіцієнт перекриття ε_γ можна також виразити як відношення дуги зачеплення до колового кроку рw [4], тобто . Зрозуміло, що для забезпечення плавної роботи передачі дуга зачеплення повинна бути більша від кроку .

Дугами зачеплення називають частину початкових кіл, які перекочуються одна по одній за час контакту пари зубів. Взагалі кажучи, дугу зачеплення і коловий крок можна знаходити на будь-якому іншому колі зубчастих коліс (вершин, ділильному, основному тощо).

Картину зачеплення у рейковому та внутрішньому зачепленнях зображено на рис. 1.25а. На рис. 1.24 і 1.25б дуги зачеплення позначені для шестірні літерами ее, колеса (рейки) - . Дуга перекриття у косозубих зубчастих передачах більша, ніж у прямозубих, на величину .

Рис. 1.25

Це видно з розгортки початкової поверхні косозубого колеса (рис. 1.25, в), на якій зображені лінії зубів на початку і в кінці контакту пари зубів.

Повний коефіцієнт перекриття є сумою торцевого коефіцієнта перекриття й вісьового коефіцієнта перекриття тобто

(1.65)

Торцевим коефіцієнтом перекриття називають відношення довжини активної лінії зачеплення до кроку евольвентного за­чеплення, тобто

(1.66)

Довжина активної лінії зачеплення визначається з рис. 1.24:

Остаточно

(1.67)

Підставивши значення (1.67), (1.63) у відношення (1.66), одержимо залежність для визначення коефіцієнта торцевого перекриття:

(1.68)

1.11.2. Підрізання зубів

При нарізанні зубчастого колеса можливе підрізання зубів (рис. 1.26, а), яке проявляється у зменшенні товщини ділильної ніжки зуба. [2,4] Це призводить до зрізання головного (евольвентного) профілю зубів і зменшення їх міцності на згин. Підрізання зубів настає в тому випадку, коли активна лінія зачеплення Н₁H₂ виходить за межі теоретичної лінії зачеплення В₁В₂ (рис. 1.26, б), оскільки, будь-яка точка профілю зуба (шестірні), що лежить за межами цієї лінії, не відповідає основній теоремі зачеплення (нормаль N'N', проведена до такого профілю в точці контакту, не буде проходити через полюс зачеплення).

Як видно з рис. 1.23, небезпека підрізання більша у меншого колеса, оскільки В₁Н₂ < В₂Н₁.

Рис. 1.26

Для визначення мінімального коефіцієнта зміщення хтіп і мінімального числа зубів zтіп, при яких не спостерігається підрізання, можна використати залежність для радіуса кривизни граничної точки L головного бічного профілю зубів (рис. 1.26, б). Нагадаємо, що точка, яка розділяє евольвенту і перехідну частини бічного профілю, називається граничною. Як відомо, для побудови головного профілю евольвентного зуба використовується евольвента, радіус кривизни якої завжди задовольняє умову ρ > 0.

Причому евольвента завжди буде за межами основного кола і на своєму початку, що збігається з основним колом, матиме радіус кривизни ρ — 0. Це і є граничний випадок, при якому профіль зуба колеса може знаходитись на лінії зачеплення NN (рис. 1.23) і мати радіус кривизни ρ = 0.

Розглянемо верстатне зачеплення у момент, коли формується профіль у граничній точці L, і визначимо радіус кривизни профілю у цій точці (рис. 1.26, в):

Враховуючи, що , одержуємо

(1.70)

Рівняння (1.70) показує, що із зменшенням числа зубів і коефіцієнта зміщення х радіус кривизни ρ_L зменшується, тобто точка L наближається до основного кола. Для кожного числа зубів z існує таке зміщення коефіцієнта х, при якому ρ_L = 0, тобто гранична точка лежить на основному колі, а вся перехідна крива лежить всередині основного кола. Такий коефіцієнт зміщення називаємо коефіцієнтом найменшого зміщення х_тіп. Прийнявши ρ_L = 0, з рівняння (1.70) знаходимо

Якщо рівняння (1.70) розв'язати відносно z при ρ_L = 0, одержимо найменше число зубів колеса, вільне від підрізання при заданому коефіцієнті зміщення х. Так, при і

Якщо x > х_min, то при будь-якому числі зубів перехідна крива дотикається до евольвенти і плавно спрягається з нею у точці L, радіус кривизни в якій r_L > r_b. При х = х_тіп перехідна крива плавно спрягається з евольвентою на основно

Дата добавления: 2015-07-08