Зубчасті механізми з рухомими осями коліс

У деяких багатоланкових зубчастих передачах осі окремих коліс є рухомими. Такі зубчасті механізми (рис. 2.4) з одним ступенем вільності називають планетарними механізмами, а з двома і більше ступенями вільності — диференціальними механізмами, або просто диференціалами. Колеса з рухомими осями обертання називаються планетарними колесами або сателітами, а ланка, на якій розміщена вісь сателітів, — водилом. На схемах водило прийнято позначати літерою H. Зубчасті колеса з нерухомими осями обертання називаються сонячними або центральними.

Диференціальні механізми. На рис. 2.4, а зображено в двох проекціях найпростіший диференціальний механізм, в якому колесо 1 є центральним, колесо 2 — сателітом, а ланка Н — водилом. Нехай колеса 1, 2 і водило H обертаються з кутовими швидкостями ω₁, ω_2, ω_H

Визначимо число ступенів вільності механізму, в якому число рухомих ланок п = 3, число обертових пар п'ятого класу р₅ — 3. Це пари О₁, 0₂ і О_н, в які входять відповідні ланки: 0—1, 2—H, H—0, де 0 — стояк. Зубчасті колеса 1 і 2 утворюють вищу пару четвертого класу (р₄ = 1). Отже, за структурною формулою для плоских механізмів число ступенів вільності диференціального механізму

Рис. 2.4.

Таким чином, для визначеності руху механізму він повинен мати заданими закони руху двох ланок, тобто мати дві узагаль­нені координати. Взагалі кажучи, вибір цих двох ланок може бути довільним. Наприклад, можна задати закони руху ланок 1 і H, тобто закони зміни кутів повороту φ _{1 ;} і φ ₂ ланок 1 і H. Тоді, очевидно, кут повороту φ ₁₂ ланки 2 буде функцією цих кутів:

(2.8)

Для визначення передаточних відношень диференціального механізму не можна безпосередньо скористатися формулами для зубчастих механізмів з нерухомими осями. Для виведення залежності між кутовими швидкостями ланок диференціального механізму та числом зубів зубчастих коліс використаємо метод оборотності (інверсії) руху, який полягає в таму, що всім ланкам механізму надаємо додаткової кутової швидкості навколо осі О_н з кутовою швидкістю - ω_H яка дорівнює кутовій швидкості ω_H водила H за величиною, але протилежна їй за напрямом. При цьому відносний рух ланок не зміниться. Тоді ланки механізму матимуть кутові швидкості: зубчасте колесо 1 — ω₁^(H)= -ω_H -ω_1; колесо 2 – ω₂^(H)= -ω_H –ω_2; водило Н - ω_H - ω_H =0

Отже, після надання ланкам механізму додаткового обертання з кутовою швидкістю - ω_H ланка Н буде нерухомою, і диференціал перетвориться в звичайний зубчастий механізм з нерухомими осями О₁ 0₂ і 0₃. Передаточне відношення такого механізму визначається формулою (2.5) або (2.7). У даному випадку

Тут і далі, щоб знати, при якій нерухомій ланці визначено конкретне передаточне відношення, біля його позначення в дужках ставитимемо верхній індекс тієї ланки, яка взята за нерухому.

Формула (2.9) називається формулою Вілліса для диференціального механізму. Цю формулу можна одержати диференціюванням формули (2.8).

У загальному вигляді при будь-якій кількості коліс формула Вілліса записується так:

де k — кількість пар зовнішнього зубчастого зачеплення.

Формула Вілліса встановлює математичну залежність між кутовими швидкостями ланок механізму і числами зубів коліс. Маючи заданими кутові швидкості яких-небудь двох ланок, наприклад ω₁, ω_m, і числа зубів коліс, можна визначити кутову Швидкість третьої ланки (ω_H). Враховуючи, що у формулах (2.9), (2.10) замість ω_i можна записати n_i, де n_i — кількість обертів ланки за хвилину.

Диференціальні механізми широко використовуються в автомобілях, лічильних, сільськогосподарських машинах, металорізальних верстатах тощо.

Планетарні механізми. Ці механізми є окремим випадком диференціальних механізмів. Якщо в диференціальному ме­ханізмі одне з центральних коліс зробити нерухомим, одержимо планетарний механізм. На рис. 2.4, б колесо закріплено нерухомо. Число ступенів вільності такого механізму

Отже, у такому механізмі досить мати одну початкову ланку.

Для планетарного механізму також справедлива формула Вілліса (2.9) або (2.10). У даному випадку, коли ω₁ = 0, вона набуває вигляду

(2.11)

Розділивши у формулі (2.11) чисельник і знаменник на , після відповідних перетворень одержимо

(2.12)

де для зовнішнього зубчастого зачеплення при нерухомих осях коліс Рівняння (2.12) можна записати ще так:

(2.13)

тобто для планетарних механізмів із круглими колесами сума передаточних відношень при різних зупинених ланках завжди дорівнює одиниці.

Планетарні механізми широко використовуються в зубчастих редукторах як механізми для виконання складного руху робочих органів машин, наприклад, для обертання лопаток мішалок, приводів шпинделів бавовнопрядильних машин тощо.

Приклад 2.2. Визначити передаточне відношення i_1H механізму Давида (рис. 2.5), якщо задано число зубів зубчастих коліс: z₁ = 100, z₂ = 99, z₂’ = 100, z₃ = 101.

Рис. 2.5 Рис. 2.6

Розв'язання. Використовуючи формулу Вілліса для диференціального механізму, записуємо передаточне відношення механізму Давида при нерухомому водилі H:

Оскільки ω ₃ = 0, то, розділивши чисельник і знаменник на , дістанемо

Звідки

або

Як видно з наведеного прикладу, планетарні механізми можуть невеликою кількістю зубчастих коліс забезпечувати великі передаточні відношення. Проте багато з них мають низькі ККД і непридатні для практичного застосування (при η < 0 настає самогальмування). Особливо це стосується планетарних і диференціальних механізмів, які утворені циліндричними зубчастими колесами. Зокрема механізм, зображений на рис. 2.6, з такими числами зубів при ведучому колесі 1 не може бути приведений у рух через самогальмування. Тому на практиці ширше використовують конічні диференціальні та планетарні механізми, в яких ККД вищі.

Комбіновані (багатоланкові) зубчасті механізми. В машинобудуванні та приладобудуванні часто зустрічаються зубчасті механізми, що складаються з різних видів зубчастих механізмів (ступінчастих, паразитних, планетарних і диференціальних). Такі механізми називають комбінованими. До їхнього складу можуть входити й інші механізми (фрикційні, пасові, ланцюгові). Для визначення передаточного відношення таких передач треба спочатку проаналізувати склад передачі, визначити передаточні відношення кожного складового механізму і потім, використовуючи формулу (2.3), записати вираз для загального передаточного відношення всього механізму. Розглянемо це питання на прикладі.

Приклад 2.3. Для зубчастого механізму (рис. 2.6) визначити передаточне відношення і_1Н, якщо задано число зубів зубчастих коліс:

Розв'язання. Для того щоб визначити загальне передаточне відношення, необхідно механізм розкласти на складові. Насамперед слід виділити планетарний механізм. До планетарного (або диференціального) механізму входять: водило Н, сателіти 3 і З' і два центральні колеса 2 і 4, що входять у зачеплення із сателітами, всі інші зубчасті колеса, які не перебувають у зачепленні із сателітами, до планетарного механізму не входять. Отже, зубчасті колеса 1 і 2, що мають нерухомі осі, в зачеплення з сателітами не входять і утворюють звичайну зубчасту передачу.

Тоді передаточне відношення зубчастого механізму і_1Н визначають за формулою (2.3):

де u₁₂ передаточне відношення ступінчастої зубчастої передачі, яка складається із зубчастих коліс 1 і 2 і визначається за формулою (2.5):

де u_2Н — передаточне відношення планетарного механізму, яке можна визначити, записавши формулу Вілліса для диференціального механізму при нерухомому водилі:

Тоді, розділивши кутові швидкості на - ω_H і враховуючи, що ω ₄ = 0, маємо

або

Підставивши значення u₁₂ і u _2H у загальну формулу, дістанемо

Замкнуті диференціальні механізми. Якщо в зубчастому дифе­ренціальному механізмі зв'язати додатковою (замикаючою) передачею які-небудь дві ланки, що мають нерухомі осі обертання (це можуть бути центральні колеса або одне центральне колесо й водило), одержимо механізм з одним ступенем вільності, названий замкненим диференціальним механізмом. Передаточні відношення таких механізмів визначають за такими самими ме­тодами, як і комбінованих механізмів. При цьому механізм ділять на дві частини: одна — власне диференціальний механізм; друга — замикаюча передача. Для диференціального механізму записують формулу Вілліса, для замикаючої частини — формулу передаточного відношення (2.5) або (2.7) залежно від виду передачі. Розв'язуючи спільно одержані рівняння, знаходимо передаточне відношення замкнутого диференціального механізму. Методику розв'язання таких задач розглянемо на прикладі.

Приклад 2.4. Визначити передаточне відношення і _1H для замкнутого диференціального механізму, який зображено на рис. 2.7, якщо задано число зубів зубчастих коліс:

Рис. 2.7

Розв'язання. У механізмі, зображеному на рис. 2.7, центральне колесо З і водило Н з'єднані між собою додатковою передачею, що складається із серії зубчастих коліс 3', 4, 5 (водило Н і зубчасте колесо 5 утворюють одну рухому ланку) з нерухомими осями, тобто утворюють паразитну зубчасту передачу.

Для визначення передаточного відношення механізму розділяємо його на складові частини (ступені). Насамперед треба виділити диференціальний механізм (водило Н, сателіти 2 і 2' та центральні колеса 1 і 3, що входять у зачеплення із сателітами), який на рис. 2.7 обведений штриховою лінією. Ко­леса 3', 4, 5 утворюють замикаючу передачу. Передаточне відношення визначають із відповідних залежностей, що складаються для диференціального механізму й замикаючої передачі.

Для диференціального механізму записуємо формулу Вілліса (при нерухомому водилі):

(2.14)

Для замикаючої (паразитної) передачі передає точне відношення визначають за формулою (2.7):

Тут k₁ = k₂ = 1 — число пар зовнішнього зачеплення в диференціальному механізмі та замикаючій передачі; ω₅ = ω_H

Розв'язуючи спільно рівняння (2.14) і (2.15), знаходимо передаточне відношення і_1H. Для цього підставимо в залежність (2.14) значення

Розділивши чисельник і знаменник на ω_H, дістанемо

Звідки остаточно маємо

Контольні запитання та завдання

1. Що називають редуктором, мультиплікатором?

2. Які є види багатоланкових зубчастих механізмів? Скільки ступеней має зубчаста передача, вказана на рис. 2.8.? Як визначити знак та число передаточного відношення для неї?

Рис. 2.8

3. Які колеса називають паразитними?

4. Що таке планетарний, диференційний механізми?

5. Назвіть правильно кожне з колес, що входить до планетарного механізму, наведеного на рис. 2.9.

Рис. 2.9

Дата добавления: 2015-07-08