Сравнение двух независимых выборок

Самым популярным и наиболее чувствительным (мощным) аналогом кри­терия f-Стьюдента для независимых выборок является критерий U-Манна-Уитни (Mann-Whitney U). Непараметрическим его аналогом является крите-

ЧАСТЬ II. МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ВЫВОДА: ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

рий серий (см. главу 8), который еще проще в вычислительном отношении, но обладает заметно меньшей чувствительностью, чем критерий U.

Эмпирическое значение критерия tZ-Манна-Уитни показывает, насколько совпадают (пересекаются) два ряда значений измеренного признака. Чем мень­ше совпадение, тем больше различаются эти два ряда. Основная идея критерия U основана на представлении всех значений двух выборок в виде одной общей последовательности упорядоченных (ранжированных) значений. Основной (нулевой) статистической гипотезе будет соответствовать ситуация, когда зна­чения одной выборки будут равномерно распределены среди значений другой выборки, то есть когда два ряда значений пересекаются в наибольшей возмож­ной степени. Напротив, отклонению этой гипотезы будет соответствовать си­туация, когда значения одной из выборок будут преобладать на одном из кон­цов объединенного ряда — пересечение двух рядов тогда будет минимальным.

ПРИМЕР 12.1_____________________________________________________

Обозначим значения переменной для одной выборки X, а для другой выборки — У и упорядочим значения обеих выборок по возрастанию.

Значения

Выборка

X

X

У

X

X

X

У

X

X

У

X

У

У

Y

У

У

Значения одной выборки распределены явно не равномерно среди значений дру­гой выборки: значения выборки У преобладают на правом конце объединенного ряда. Однако критерий серий не позволяет обнаружить статистически значимые различия: всего серий в данном случае W— 8 и при т = п = $ эта величина не выхо­дит за пределы критических значений для а = 0,05 (приложение 5).

Формально, критерий U— это общее число тех случаев, в которых значе­ния одной группы превосходят значения другой группы, при попарном срав­нении значений первой и второй групп. Соответственно, вычисляются два значения критерия: U_x и U_y.

Для вычислений «вручную» используются следующие формулы:

Uy =mn-R_v +■

2
U_y=mn-R_y+—------- -, (12.1)

U_x+ U_y = mn,

где п — объем выборки X; m — объем выборки У, R_x и R_y — суммы рангов для X и У в объединенном ряду. В качестве эмпирического значения критерия бе­рется наименьшее из U_x и U_y. Чем больше различия, тем меньше эмпирическое значение U.

Поскольку критерий U отражает степень совпадения (перекрещивания) двух рядов значений, то значениер-уровня тем меньше, чем меньше значение U. При расчетах «вручную» используют таблицы критических значений крите­рия £/-Манна-Уитни (приложение 9).

ГЛАВА 12. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ВЫБОРОК

ПРИМЕР 12.1 (продолжение)

Проверим гипотезу о различии выборок X (численностью т = 8) и К (численно­стью п = 8) на уровне а = 0,05:

Значения

Выборка

X

X

Y

X

X

X

Y

X

X

Y

X

Y

Y

Y

Y

Y

Ранги

Ранги X

Ранги Y

5, ^9

Ш а г 5. Определяется/7-уровень значимости: наименьшее из f/сравнивается с таб­личным (приложение 9) для соответствующих объемов выборки т = 8 и п = 8. Зна­чение р < 0,05 (0,01), если вычисленное £/_энп < £/_табл В нашем случае наименьшим является U_y = 10, которое и принимается за эмпирическое значение критерия. Оно меньше критического для р = 0,05 (U= 13), но больше критического для р = 0,01 (U=7). Следовательно,/? < 0,05.

Ш а г 6. Принимается статистическое решение и формулируется содержательный вывод. На уровне а = 0,05 принимается статистическая гипотеза о различии X и Y по уровню выраженности признака. Уровень У статистически достоверно выше уров­ня Х(р< 0,05).

Замечание. Связи в рангах для вычислений «вручную» не предусмот­рены. Хотя они и незначительно влияют на результат, но если доля одинако­вых рангов по одной из переменных велика, то предлагаемый алгоритм не­применим, пользуйтесь компьютерной программой (SPSS, Statistica).

Дата добавления: 2015-11-04