Сравнение более двух независимых выборок

Критерий IIКраскала-Уоллеса (Kruskal- Wallis H) является непараметричес­ким аналогом однофакторного дисперсионного анализа (ANOVA) для неза­висимых выборок, поэтому другое его название — Однофакторный дисперси­онный анализ Краскала-Уоллеса (Kruskal-Wallis one-way analysis of variance). Он позволяет проверять гипотезы о различии более двух выборок по уровню вы­раженности изучаемого признака.

Я-Краскала-Уоллеса по идее сходен с критерием £/-Манна-Уитни. Как и последний, он оценивает степень пересечения (совпадения) нескольких ря­дов значений измеренного признака. Чем меньше совпадений, тем больше различаются ряды, соответствующие сравниваемым выборкам. Основная идея критерия Я-Краскала-Уоллеса основана на представлении всех значений срав­ниваемых выборок в виде одной общей последовательности упорядоченных (ранжированных) значений, с последующим вычислением среднего ранга для

ЧАСТЬ II. МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ВЫВОДА: ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

каждой из выборок. Если выполняется статистическая гипотеза об отсутствии различий, то можно ожидать, что все средние ранги примерно равны и близ­ки к общему среднему рангу.

Эмпирическое значение критерия Я-Краскала-Уоллеса вычисляется пос­ле ранжирования всех значений сравниваемых выборок по формуле:

Н =

#2

(12.2)

где N— суммарная численность всех выборок; к — количество сравниваемых выборок; Rj — сумма рангов для выборки /; п_{ — численность выборки /. Чем сильнее различаются выборки, тем больше вычисленное значение Я и тем меньше/7-уровень значимости.

При расчетах «вручную» для определения /ьуровня пользуются таблицами критических значений. Если объем каждой выборки больше 5 и количество выборок больше трех, то эмпирическое значение критерия сравнивается с х² (приложение 4) для df= k—\ (к — число выборок). Если сравниваются 3 вы­борки и объем каждой выборки меньше 5, то пользуются таблицей критичес­ких значений Я-Краскала-Уоллеса (приложение 12).

При отклонении нулевой статистической гипотезы об отсутствии разли­чий принимается альтернативная гипотеза о статистически достоверных различиях выборок по изучаемому признаку — без конкретизации направле­ния различий. Для утверждений о том, что уровень выраженности признака в какой-то из сравниваемых выборок выше или ниже, необходимо парное соотнесе­ние выборок по критерию U-Манна-Уитни.

ПРИМЕР 12.3__________________________________________________________

Проверим гипотезу о различии выборок 1, 2 и 3 на уровне а = 0,05:

Шаг 1. Значения выборок объединяются в один ряд, упорядоченный в порядке возрастания или убывания. Обозначается принадлежность каждого значения к той или иной выборке (строки 1 и 2).

Ш а г 2. Значения выборок ранжируются и выписываются отдельно ранги для каж­дой выборки (строки 3-6).

Ш а г 3. Вычисляются суммы рангов для каждой выборки и проверяется правиль­ность расчетов. R_} = 46; R₂ =49; R^ = 41. Общая сумма рангов должна быть равна N(N+ l)/2 = 16x17/2 = 136. Равенство соблюдено.

Ш а г 4. Вычисляется Я по формуле 12.2:

ГЛАВА 12. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ВЫБОРОК

Шаг 5. Определяется /?-уровень значимости. Хотя сравниваются 3 выборки, но объем одной из них больше 5, поэтому вычисленное Я сравнивается с табличным значением х² (приложение 4) для числа степеней свободы df— 3 — 1—2. Эмпириче­ское значение Я находится между критическими для р = 0,05 и р = 0,01. Следова­тельно, р < 0,05.

Ш а г 6. Принимается статистическое решение и формулируется содержательный вывод. На уровне а = 0,05 гипотеза Н_о отклоняется. Содержательный вывод: срав­ниваемые выборки различаются статистически достоверно по уровню выраженно­сти признака (р < 0,05).

Отметим, что на основании такой проверки мы не можем сделать конкретный вы­вод о направлении различий и о том, в какой выборке признак принимает большие или меньшие значения. Для этого необходимо парное соотнесение выборок по со­ответствующему критерию (£/-Манна-Уитни).

Дата добавления: 2015-11-04