Сравнение более двух зависимых выборок

Критерий %²-Фридмана (Friedman test) является непараметрическим анало­гом однофакторного дисперсионного анализа (ANOVA) для повторных изме­рений. Он позволяет проверять гипотезы о различии более двух зависимых выборок (повторных измерений) по уровню выраженности изучаемого при­знака. Критерий х²-Фридмана может быть более эффективен, чем его метри­ческий аналог ANOVA в случаях повторных измерений изучаемого признака на небольших выборках.

Критерий х²-Фридмана основан на ранжировании ряда повторных изме­рений для каждого объекта выборки. Затем вычисляется сумма рангов для каж­дого из условий (повторных измерений). Если выполняется статистическая гипотеза об отсутствии различий между повторными измерениями, то можно ожидать примерное равенство сумм рангов для этих условий. Чем больше раз­личаются зависимые выборки по изучаемому признаку, тем больше эмпири­ческое значение %²-Фридмана.

Эмпирическое значение х²-Фридмана вычисляется после ранжирования ряда повторных измерений для каждого объекта по формуле:

где N — число объектов (испытуемых), к — количество условий (повторных измерений), R_t — сумма рангов для условия /.

При расчетах «вручную» для определения/г-уровня пользуются таблицами критических значений. Если к = 3, N> 9 или к > 3, N> 4, то пользуются обыч­ной таблицей для %², df= к — 1 (приложение 4). Если к = 3, N< 10 или к = 4,

ГЛАВА 12. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ВЫБОРОК

N< 5, то пользуются дополнительными таблицами критических значений Х²-Фридмана (приложение 13).

При отклонении нулевой статистической гипотезы об отсутствии разли­чий принимается альтернативная гипотеза о статистически достоверных раз­личиях выборок по изучаемому признаку — без конкретизации направления различий. Для утверждений о том, что уровень выраженности признака в ка­кой-то из сравниваемых выборок выше или ниже, необходимо парное соотнесение выборок по критерию Т-Вилкоксона.

ПРИМЕР 12.4____________________________________________________________

Проверим гипотезу о различии четырех зависимых выборок по уровню выражен­ности признака Х(о различии четырех условий для одной и той же выборки). Для принятия статистического решения а = 0,05:

Ш а г 1. Для каждого объекта условия ранжируются (по строке).

Ш а г 2. Вычисляется сумма рангов для каждого условия: R_: — 14, R₂ = 15, /?₃ ~ 9, /?4=22.

Ш а г 3. Вычисляется эмпирическое значение х²-Фридмана по формуле 12.3:

Ш а г 4. Определяется р- уровень значимости. Так как к > 3, jV> 4, то пользуются обычной таблицей для х² (приложение 4). Эмпирическое значение у² находится меж­ду критическими для р = 0,05 нр = 0,01. Следовательно, р < 0,05.

Ш а г 5. Принимается статистическое решение и формулируется содержательный вывод. На уровне а = 0,05 гипотеза Н_о отклоняется. Содержательный вывод: срав­ниваемые условия статистически достоверно различаются по уровню выраженно­сти признака {р < 0,05).

Отметим, что на основании такой проверки мы не можем сделать конкретный вы­вод о направлении различий и о том, в каких условиях признак принимает боль­шие или меньшие значения. Для этого необходимо парное соотнесение условий по соответствующему критерию (Г-Вилкоксона).

ЧАСТЬ II. МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ВЫВОДА: ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

Дата добавления: 2015-11-04