Оценка параметров модели

Модель случайного блуждания в особенности легко оценивать на основе фактичеких данных о движении цены. В качестве оценки параметра сдвига следует просто взять усреднённый ежегодный темп роста цены за рассматриваемый период времени. Оценкой волатильности служит обычная оценка стандартного отклонения процентных приращений цены за рассматриваемый период времени. На Рис.2 показаны фактическая динамика цены на нефть за период с января 1989 г. по октябрь 1995 г., а также прогноз будущих значений цены, построенный на основе модели случайного блуждания со сдвигом. Фактическая динамика цены изображена сплошной линией, несколько убывающей от начала к концу данного периода времени. Это небольшое снижение влечёт очень маленькое оценочное значение параметра сдвига: . Показанный на рисунке прогноз основан на предположении m = 0%. Пунктирные линии задают границы доверительного интервала для будущих цен на нефть, предполагая, что s = 35,1% (оценка получена пересчётом на годовое счисление стандартного отклонения фактических еженедельных процентных изменений цены за период с января 1989 г. по октябрь 1995 г.).

Хотя параметры случайного блуждания легко оценить, результаты не всегда надёжны и требуют осторожного обращения. Например, оценка параметра сдвига в особенности чувствительна к выбору временного интервала исходных данных. Оглядываясь на Рис.2, можно увидеть, что выбор интервала, начинающегося январём 1989 г. и заканчиваю­щегося мартом 1994 г. приводит к отрицательному значению этой оценки, раному –4,4%, в то время как выбор интервала с марта 1994 г. по октябрь 1995 влечёт положительную оценку, близкую 10%. Если выбрать интервал, начинающийся либо занакчивающийся периодом Войны в Персидском заливе, то результаты окажутся ещё более экстремальными.

Оценки волатильности также могут оказаться чувствительными к выбору исходных данных. На них могут повлиять как выбор исторического периода, так и длительность временного интервала для измерения ценовых приращений. Более короткие интервалы – например, суточной или недельной длительности – часто приводят к более высоким оценкам волатильности, чем более длинные – например, месячной продолжительности[1]. Приведённая в работе (Paddock, Siegel and Smith, 1988) оценка волатильности, равная 14%, получена на основе ежемесячных ценовых данных об импортируемой сырой нефти за период с 1974 по 1980 гг. Авторы, впрочем, замечают, что волатильность цен на сырую нефть существенно выросла с начала 1980-х гг., т.е. с того периода, который интересовал их именно в этом исследовании. По мнению Kemna (1993), оценки волатильности цены на нефть лежат в интервале от 15% до 20%, в зависимости от выбранного исторического периода. Гибсон и Шварц (Gibson and Schwartz, 1991) на основе еженедельных данных за период с ноября 1986 г. по ноябрь 1988 г. оценивают нижний и верхний пределы волатильности равными, соответственно, 30% и 33%

В своём исследовании, посвящённом стоимостной оценке медных рудников, Бреннан и Шварц (Brennan and Schwartz, 1985) исходили из скорректированного на риск ожидаемого темпа роста цен на медь, равного 9%, и волатильности, немного превышающей 28%[2].

При использовании модели случайного блуждания для целей ценового прогнозирования и стоимостной оценки важно помнить, что оценки параметров должны отражать будущее, а не прошлое. Исторические данные полезны лишь постольку, поскольку они обеспечивают наилучшие оценки будущей ценовой динамики. Могут возникать ситуации, в которых оценки, выведенные из исторических наблюдений, следует пересмотреть в свете дополнительной информации, свидетельствующей о сдвиге действительных значений параметров, лежащих в основе модели. Аналитики товарных рынков нередко имеют доступ к важной информации о будущих изменениях спроса и предложения, и эту информацию иногда можно легко включить в такую стохастическую модель, как модель случайного блуждания. Например, предположим, что аналитик обладает информацией, позволяющей предположить, что цена на товар будет снижаться в краткосрочной перспективе, а в долгосрочной – расти. В этом случае параметр сдвига в модели следует задать функцией времени: например, m (t) = –2% для t < 3 и m (t) = +3% для t ≥ 3.[3]. Аналогично, волатильность цены совсем не обязательно должна оставаться постоянной в течение всего горизонта прогнозирования.

Рис. 1. Случайное блуждание. Случайная реализация ценовой траектории, линия прогноза и доверительные интервалы. Тёмной сплошной линией показана фактическая динамика цены на товар в течение 2 лет. Тонкая пунктирная линия слева представляет собой тренд прогнозных значений цены на момент времени t = 0. Она исходит из начального значения в $100 и растёт с темпом 3% годовых. Более жирная пунктирная линия справа представляет собой тренд прогнозных значений цены на момент времени t = 2. Она берёт своё начало из фактического значения цены в этот момент, а затем растёт с темпом 3% годовых. Сложным пунктиром показаны границы 66%-го доверительного интервала для прогнозных значений цены на момент времени t = 2. Обратите внимание, что ширина доверительного интервала с течением времени неограниченно возрастает. Также обратите внимание на то, что прогноз цены всё время пересматривается вслед за сдвигами значений текущей цены. Новое прогнозное значение цены целиком и полностью основывается на текущем значении цены и никаким иным образом не зависит от предыдущей динамики цены, включая её начальное значение.

Рисунок 2. Модель случайного блуждания цен на нефть.

Дата добавления: 2015-11-04