Основы теории принятая статистических решений 1051 63 страница

12.1.4.2. Шумовые колеса

В конце 40-х—начале 50-х годов Мортимер Рогофф (Mortimer Rogoff), сотрудник ПТ (International Telephone and Telegraph Corporation — Международная телефонная и теле­графная корпорация, США), провел новаторский эксперимент с использованием систем расширенного спектра [5]. Используя фотографию, Рогофф построил “шумовое колесо”, содержащее информацию о псевдослучайном сигнале. Из телефонного справочника Ман- хетгена были выбраны 1440 номеров, не заканчивающихся на “00”. Две средние из четы­рех последних цифр каждого номера были радиально расположены с интервалом 1/4°, по­сле чего график был перенесен на пленку в виде колеса (рис. 12.6). При вращении колеса свет, излучаемый из прорези, модулируется по амплитуде и формирует псевдослучайный расширяющий сигнал, который может быть зафиксирован фотоэлементом.

Рогофф установил два идентичных шумовых колеса на ось, вращаемую синхронным двигателем с частотой 900 об/мин. Расширяющий сигнал одного из колес модулировался данными (и помехами), после чего поступал на один из входов принимающего коррелято­ра. На другой вход коррелятора поступал немодулированный сигнал второго колеса. Экс­перименты проводились с узкополосными сигналами на скорости 1 бит/с. В результате была доказана возможность передачи информации в виде сигналов, подобных шуму [4].

Рис. 12.6. Шумовое колесо Рогоффа. (Перепечатано с разреше­ния ITT из Section I (Communications) of “Application of Statisti­cal Methods to Secrecy Communication Systems, ” Proposal 946,

Fed. Telecomm. Lab., August, 28, 1950, Fig. 6.)

12.2. Псевдослучайные последовательности

Системы связи расширенного спектра с передачей опорного сигнала (transmitted reference — TR) могут использовать истинно случайный кодовый сигнал для рас­ширения и сужения, поскольку кодовый сигнал и модулированный данными ко­довый сигнал одновременно передаются в разных областях спектра. Метод хране­ния опорного сигнала (stored reference — SR) не позволяет использовать истинно случайные кодовые сигналы, поскольку код должен храниться или генерироваться приемником. В системах SR должен применяться псевдошумовой (pseudonoise) или псевдослучайный (pseudorandom) кодовый сигнал.

В чем отличие псевдослучайного кода от истинно случайного? Случайная последо­вательность непредсказуема и может быть описана только в статистическом смысле. Псевдослучайный код на самом деле не является случайным — это детерминирован­ный периодический сигнал, известный передатчику и приемнику. Так почему же он называется “псевдослучайным”? Причина в том, что он имеет все статистические свойства дискретного белого шума. Для “неуполномоченного” пользователя такой сигнал будет казаться абсолютно случайным.

12.2.1. Свойства случайной последовательности

Каким должен быть псевдослучайный код, чтобы казаться истинно случайным? Существует три основных свойства любой периодической двоичной последовательности, которые могут быть использованы в качестве проверки на случайность.

1. Сбалансированность. Для каждого интервала последовательности количество двоичных единиц должно отличаться от числа двоичных нулей не больше чем на на один элемент.

2. Цикличность. Циклом называют непрерывную последовательность одинаковых двоичных чисел. Появление иной двоичной цифры автоматически начинает новый цикл. Длина цикла равна количеству цифр в нем. Желательно, чтобы в каждом фрагменте последовательности приблизительно половину составляли циклы обоих типов длиной 1, приблизительно одну четверть — длиной 2, приблизительно одну восьмую — длиной 3 и т. д.

3. Корреляция. Если часть последовательности и ее циклично сдвинутая копия поэлементно сравниваются, желательно, чтобы число совпадений отличалось от числа несовпадений не более чем на единицу.

В следующем разделе для проверки данных свойств будет сгенерирована псевдослучайная последовательность.

12.2.2. Последовательности, генерируемые регистром сдвига

Рассмотрим линейный регистр сдвига с обратной связью (рис. 12.7), который состоит из четырехразрядного регистра для хранения и сдвига, сумматора по модулю 2 (операция суммирования по модулю 2 была определена в разделе 2.9.3), а также контура обратной связи с входом регистра. Работа регистра сдвига управляется последовательностью син­хронизирующих импульсов (не показанных на рисунке). С каждым импульсом содер­жимое регистров сдвигается на одну позицию вправо, а содержимое регистров Х₃ и Х₄ суммируется по модулю 2 (линейная операция). Результат суммирования по обратной связи подается на разряд А^. Последовательность, генерируемая регистром сдвига, — это, по определению, выход последнего регистра (в данном случае Х₄).

  Рис. 12.7. Пример линейного регистра сдвига с обратной связью

Предположим, что разряд Х_х содержит единицу, а все остальные разряды — нули, т.е. начальным состоянием регистра является 1 0 0 0. В соответствии с рис. 12.7, по­следующие состояния регистра будут следующими:

1000 0100 0010 1001 1 100 ОНО 1011 0101 1010 1 101 1 1 10 1 1 1 1 01 1 1 001 1 0001 1000

Поскольку последнее состояние, 1 0 0 0, идентично начальному, видим, что приве­денная последовательность повторяется регистром через каждые 15 тактов. Выходная последовательность определяется содержимым разряда Х₄ на каждом такте. Эта после­довательность имеет следующий вид:

0001001 10 101 1 1 1

Здесь крайний левый бит является самым ранним. Проверим полученную последова­тельность на предмет соответствия критериям, приведенным в предыдущем разделе. По­
следовательность содержит семь нулей и восемь единиц, что соответствует условию сба­лансированности. Рассмотрим циклы нулей — всего их четыре, причем половина их имеет длину 1, а одна четвертая — длину 2. То же получаем для циклов единиц. После­довательность слишком коротка, чтобы продолжать проверку, но видно, что условие цикличности выполняется. Условие корреляции будет проверено в разделе 12.2.3.

Последовательность, сгенерированная регистром сдвига, зависит от количества разрядов, места подсоединения отводов обратной связи и начальных условий. После­довательности на выходе генератора могут классифицироваться как имеющие макси­мальную или немаксимальную длину. Период повторения (в тактах) последовательности максимальной длины, генерируемой и-каскадным линейным регистром сдвига с об­ратной связью, равен

р = 2" - 1.

Очевидно, что последовательность, сгенерированная регистром сдвига на рис. 12.7, являет­ся примером последовательности с максимальной длиной. Если длина последовательности меньше (2" -1), говорят, что последовательность имеет немаксимальную длину.

12.2.3. Автокорреляционная функция псевдослучайного сигнала

Автокорреляционная функция R_x(x) периодического сигнала x(t) с периодом Т₀ была представлена в уравнении (1.23) и приводится ниже в нормированной форме.

(12.4)

где

(12.5)

Если x(t) является периодическим импульсным сигналом, представляющим псевдослу­чайный код, каждый из элементарных импульсов такого сигнала называют кодовым символом (code symbol) или элементарным сигналом (chip). Нормированная автокорре­ляционная функция псевдослучайного сигнала с единичной длительностью элемен­тарного сигнала и периодом р элементарных сигналов может быть записана следую­щим образом:

разница между числом соответствий и несоответствий

1 при сравнении одного полного периода последовательности р с ее модификацией, полученной путем циклического ^сдвига на т позиций

График нормированной автокорреляционной функции последовательности макси­мальной длины R_x(т) показан на рис. 12.8. Очевидно, что для х = 0, т.е. когда сигнал *(/) и его копия идеально совпадают, R(т) = 1. В то же время для любого циклического сдвига между x(t) и x(t + т) при (1 < т <р) автокорреляционная функция равна -Ир (для больших значений р последовательности практически декоррелируют между собой при сдвиге на один элементарный сигнал).

\ч— Нормированная f

длительное^- элементар* сигнала * 1

Рис. 12.8. Автокорреляционная функция псевдослучайной последо­вательности_

Теперь легко можно провести проверку свойства корреляции для псевдослучайной последовательности, сгенерированной регистром сдвига на рис. 12.7. Запишем выход­ную последовательность и ее модификацию со сдвигом на один регистр вправо.

daaddadaddddaaa

Совпадение цифр отмечено символом а, а несовпадение — d. Согласно уравне­нию (12.6) автокорреляционная функция при подобном сдвиге на один элементарный сигнал равна следующему:

/?(т = 1) =—(7 — 8) = ——. ^v 15 15

Любой циклический сдвиг, который приводит к отклонению от идеальной синхрони­зации, дает значение автокорреляционной функции -Пр. Следовательно, третье свой­ство псевдослучайной последовательности в данном случае выполняется.

12.3. Системы расширения спектра методом прямой последовательности

На блок-схеме, приведенной на рис. 12.9, а, изображен модулятор схемы прямой по­следовательности (direct-sequence — DS). “Прямая последовательность” — это моду­ляция несущей информационным сигналом x(t) с последующей модуляцией высоко­скоростным (широкополосным) расширяющим сигналом g(t). Рассмотрим модулиро­ванную данными несущую с постоянной огибающей, которая имеет мощность Р, угловую частоту Шо, информационную модуляцию фазы Q_x(t).

s_x(t) = j2PcQ#<o₀t + e_x(t)] (12.7)

После модуляции расширяющим сигналом g(t) с постоянной огибающей переданный сигнал можно представить в следующем виде:

5(f) = V2Fcos[co₀f + 0* (/) + 0_g (/)], (12.8)

причем фаза несущей теперь состоит из двух компонентов: Q_x(t), который соответству­ет данным, и 0^,(0, возникший из-за применения расширяющего сигнала.

x(f).

информационный

импульс

Фильтр			Демодулятор данных (BPSK)
	V

-A'V2Px(t-f_d)

Выход коррелятора

9(t-T_d)

Коррелятор

в)

Рис. /2.9. Система расширения спектра методом прямой последовательности:

а) передатчик BPSK; б) упрощенный передатчик BPSK; в) приемник BPSK

В главе 4 было показано, что двоичная фазовая манипуляция (binary phase shift keying — BPSK) с подавлением несущей приводит к мгновенным изменениям фазы несущей на п радиан согласно передаваемой информации. Формулу (12.7) также мож­но записать как произведение несущей и x(t), потока антиподных импульсов со значе­ниями импульсов +1 либо -1.

s_x(t) = -JlP x(t)COSO3₀t

Если модуляция расширяющей последовательности — это также BPSK, a g(t) — анти­подный поток импульсов со значениями импульсов +1 либо -1, уравнение (12.8) мо­жет быть представлено в следующем виде:

s(t) = -j2Px(t)g(t)cos(o₀t.

Модулятор, построенный согласно формуле (12.10), изображен на рис. 12.9, б. Внача­ле производится перемножение потока импульсных данных и расширяющего сигнала, после чего несущая модулируется полученным сигналом jc(f). Если присвоение значе­ний импульсов бинарным значениям выполняется следующим образом

Значение импульса Двоичное значение

1 О

-1 1

то исходный этап модуляции DS/BPSK может выполняться путем суммирования по модулю 2 двоичной информационной последовательности и двоичной расширяющей последовательности.

Демодуляция сигнала DS/BPSK производится с помощью вычисления корреляции или повторной модуляции принятого сигнала синхронизированной копией расши­ряющего сигнала g(t-T_d) (рис. 12.9, в), где T_d — оценка приемником задержки рас­пространения T_d между передатчиком и приемником. При отсутствии шумов и интер­ференции выходной сигнал коррелятора может быть записан следующим образом:

AjlPxit -T_d)g(t-T_d)g(t-T_d) costcfl₀ (/ - T_d) + ф], (12.11)

где постоянная А — коэффициент усиления системы, ф — случайное значение фазо­вого угла из диапазона (0, 2л). Поскольку g(t) = ±1, произведение g(t - T_d)g(t - f_d) бу­дет равно единице, если f_d=T_d, т.е. если кодовый сигнал в приемнике точно син­хронизирован с кодовым сигналом в передатчике. При такой синхронизации выход принимающего коррелятора — это суженный сигнал, модулированный данными (за исключением случайной фазы ф и времени T_d). После этого для восстановления ис­ходных данных используется обычный демодулятор.

12.3.1. Пример схемы прямой последовательности

На рис. 12.10 приводится пример процессов модуляции и демодуляции DS/BPSK, вы­полняемых в соответствии с блок-схемами рис. 12.9, б и в. На рис. 12.10, а показана двоичная информационная последовательность (1, 0) и ее эквивалент в виде биполяр­ного импульсного сигнала jc(f). Присвоение двоичных значений импульсам выполня­ется аналогично случаю, описанному в предыдущем разделе. Примеры двоичной рас­ширяющей последовательности и ее биполярного эквивалента g(t) приводятся на рис. 12.10, б. Результат суммирования по модулю 2 информационной и кодовой по­следовательностей, а также произведение x(t)g(t) представлены на рис. 12.10, в.

Как показано на рис. 12.10, г, при модуляции BPSK (см. уравнения (12.8) и (12.10)) фаза несущей Q_x(t) + Q_g(t) равна я, если произведение сигналов x(t)g(t) равно -1 (или сум­ма по модулю 2 данных и кода является двоичной единицей). Подобным образом фаза несущей равна нулю, если значение x(t)g(t) равно +1 (или сумма по модулю 2 данных и кода равна двоичному нулю). При сравнении рис. 12.10, б и в легко заметить, что важ­ной особенностью сигналов расширенного спектра является их скрывающее свойство. График на рис. 12.10, в содержит “скрытый” сигнал x(t). Глядя на график, сложно выде­лить медленно меняющийся информационный сигнал из быстро меняющейся кодовой последовательности. Аналогичная сложность возникает при восстановлении приемни­ком сигнала, если отсутствует точная копия кодового сигнала.

Как видно из рис. 12.10, в, демодуляция DS/BPSK проходит в два этапа. Первый этап — сужение полученного сигнала — выполняется путем определения корреляции этого сигнала с синхронизированной копией кодового сигнала. Второй этап — демо­дуляция данных — производится с помощью обычного демодулятора. На рис. 12.10, д представлена копия кода 8 _g(t) в виде сдвига фазы (0 или л), который осуществляется приемником с целью сужения кода. На рис. 12.10, е представлен процесс вычисления фазы несущей 8_x(t) после сужения либо после суммирования 0_g(t) и Q_x(t) + 8,(0-

После указанных преобразований исходные данные фактически уже восстановлены и представлены в виде значений фазы несущей. Завершающий этап, показанный на рис. 12.10, ж, предполагает восстановление информационного сигнала x(t) с помо­щью демодулятора BPSK.

а)

x(t)

б)

9(0

п

П

в)

*t)g(t)

г)

е*(0 + 0g(t)

тс

к

к

к

к

к

К

к

к

к

к

к

Д)

0g(t)

к

к

к

к

К

к

к

к

К

к

к

е)

вм

к

к

к

к

к

к

ж)

№

Рис. 12 10. Пример расширения спектра методом прямой последовательности: а) исходные двоичные данные, б) кодовая последовательность; в) переданная последовательность; г) фаза переданной несущей; д) фазовый сдвиг, выполнен­ный кодом приемника; е) фаза принятой несущей после сдвига фаз (сужения); ж) демодулированный информационный сигнал

12.3.2. Коэффициент расширения спектра и производительность

Фундаментальным вопросом в использовании систем расширенного спектра является предлагаемая ими степень защиты сигнала от помех ограниченной мощности. Мето­ды расширения спектра расширяют относительно низкоразмерный сигнал в много­мерное сигнальное пространство. Сигнал “скрыт” в этом сигнальном пространстве, поскольку предполагается, что станции-постановщику преднамеренных помех неиз­вестны координаты передачи сигнала в каждый момент времени. Связь можно нару­шить путем создания помех во всем диапазоне, используя при этом всю ограничен­ную мощность генератора. В этом случае в каждой точке диапазона будут присутство­вать помехи ограниченной мощности. Еще одним способом нарушения связи может быть создание помех в некоторых точках диапазона. Соответственно, весь остальной диапазон будет свободен от преднамеренных шумов.

Рассмотрим набор из D ортогональных сигналов s,(t), 1 < / < D, в Л/-мерном про­странстве. Будем считать, что в общем случае D«N. В соответствии с выкладками, приведенными в разделе 3.1.3, можно записать следующее:

5,(r) = yVy (t) i = 1,2,..., D \ OSrSr

£ D«N ’ <^12Л2)

t

a_t] = js,(t)\fj(t)dt, (12.13)

а также

г f 1 при /' = k

¥_;(0¥*(0^ = i_n.... (12-14)

J ^J [0 при j * к

Линейно независимые функции {y/r)} охватывают или характеризуют Л'-мерное ортого­нальное пространство; их называют базисными функциями пространства. При передаче каждого информационного символа, чтобы скрыть D-мерный сигнал в Л'-мерном про­странстве с помощью псевдослучайного расширяющего кода, независимо выбирается на­бор коэффициентов {а_м}. Набор случайных переменных {а_у} может с вероятностью 1/2 иметь значение +а. Для корректного сужения сигнала приемник, разумеется, должен иметь доступ к каждому набору коэффициентов. Характерно, что даже если передача одного и того же /-го символа многократно повторяется, набор {а_ц} выбирается заново для каждого процесса передачи. Предположим, что энергия всех сигналов набора D одинакова. Тогда среднюю энергию сигнала можно записать в следующем виде:

E_s = jV(f)<* = ^{/ = 1}’² ’ -’D, (12.15)

о j = i

где черта над выражением означает математическое ожидание по ансамблю большого числа процессов передачи символов. Независимые коэффициенты имеют нулевое среднее и корреляцию

^ = = (12.16)

[ 0 при j * к

Обычно считается, что станция умышленных помех не обладает априорной информацией о наборе коэффициентов Ц,}. С точки зрения станции помех коэффициенты равномерно распределены по N базисным координатам. Если помехи создаются равномерно по всему диапазону, сигнал помех w(t) может бьггь записан в следующем виде:

N

(12.17)

j = i

Полная энергия такого сигнала равна

Т N

E_w=jw²(t)dt = J]b]. (124.8)

0 ■/ =!?

Станция умышленных помех может выработать стратегию выбора частей bj полной

(фиксированной) энергии Е_к таким образом, чтобы свести к минимуму отношение сигнал/шум (signal-to-noise ratio — SNR) в приемнике после демодуляции.

Выходной сигнал детектора в приемнике

КО = Ф) + w(t)

коррелирует с набором переданных сигналов (собственными шумами приемника пре­небрегаем), так что выход /-го коррелятора можно записать в следующем виде:

(12.20)

Усредненное значение второго члена правой части уравнения (12.20) по ансамблю всех возможных псевдослучайных кодовых последовательностей равно нулю, поскольку счита­ется, что элементы множества случайных переменных {a₀j с вероятностью 1/2 принимают значения +а. Следовательно, если считать, что передан был сигнал sjt), математическое ожидание выхода i-ro коррелятора может быть записано в следующем виде [6, 7]:

(12.21)

Для случая i = m член E(z,|s_m) можно интерпретировать следующим образом. Пусть требуется передать сигнал s,{t). Выбирается N псевдослучайных коэффици­ентов ay (1 < j<N). При этом считается, что при восстановлении исходных данных приемник имеет доступ к каждому набору а_и. Таким образом, хотя при вычислении E(z,|s_m) /-й информационный символ задается в передатчике, передается набор ко­эффициентов, которые кажутся случайными для постороннего приемника. Отметим, что в уравнении (12.21) не учитывается возможность использования станцией умыш­ленных помех изощренных, усложненных методов (описанных в разделе 12.6).

Предположим, что D сигналов равновероятны. Тогда математическое ожидание для выхода любого из D корреляторов можно записать следующим образом:

(12.22)

Подобным образом с помощью уравнений (12.15)—(12.21) вычисляем varfej^), диспер­сию выхода /-го коррелятора, считая что передан /-й сигнал:

  N

(12.23)

  ] =

⁼ I>;fr⁼ <¹²-²⁴>

j=i

_ E_wE_s

N

Для полноты рассмотрения можно подобным образом вычислить дисперсию выхода i- го коррелятора после передачи т-го сигнала (/ Ф т):

var(z,.|,_m)=^L + ^. (12.25)

Отношение мощности сигнала к мощности преднамеренной помехи (signal-to-jammer ratio — SJR) на выходе i-го коррелятора может быть определено следующим образом:

SjR.yE^k.¹ _{PM =} jg!°_,b!L. (12.26,

^vai(_Zi|i.) E,E,IK E_WD

Поскольку считается, что вероятность передачи каждого из сигналов одинакова, вероят­ность передачи m-го сигнала P(S_m) равна 1/D. Энергия сигнала и помехи обозначается, соответственно, E²(z,) и var(z,). В соответствии с уравнением (12.21) члены суммы в (12.26) не равны нулю только при I = т. Таким образом, результат не зависит от распре­деления энергии станции умышленных помех. Какими бы ни были коэффициенты bj в

сумме 'У'Ь’~ = E_w, значение SJR в уравнении (12.26) свидетельствует о том, что при j

расширении спектра энергия сигнала превосходит энергию помех в N/D раз. Данное от­ношение N/D называют коэффициентом расширения спектра (processing gain) G_p.

Если считать размерность сигнала с шириной полосы W и длительностью Т при­близительно равной 2 WT, коэффициент расширения спектра можно записать в сле­дующем виде:

N 2 W Т W G_n = — «(12.27) ^р D 2W_triaT R

где Ж* — ширина полосы расширенного спектра (полная ширина полосы, используе­мая в методе расширения), — минимальная ширина полосы данных (считается равной скорости передачи данных, R). Для систем с использованием метода прямой последовательности W_ss и приблизительно равны, соответственно, скорости пере­дачи элементарных сигналов R_ch и скорости передачи данных R. В результате можно записать следующее:

G_p=^-. (12.28)

R

В данном случае под элементарным сигналом (chip) подразумевается самый короткий непрерывный сигнал в системе. Для систем расширения спектра методом прямой по­следовательности элементарный сигнал представляет собой импульс (или элемент сигнала) псевдослучайного кода.

В любом случае использования расширенного спектра (например, для подавления интерференции или достижения высокого временного разрешения) коэффициент расширения спектра — это параметр, описывающий преимущество системы расши­ренного спектра перед узкополосной системой. В общем случае для модуляции сигна­ла в системе расширения спектра методом прямой последовательности используется схема BPSK или QPSK. Предположим, что двоичный символ состоит из 1000 элемен­тарных кодовых сигналов BPSK. В соответствии с уравнением (12.28) коэффициент расширения спектра в данном случае будет равен 1000. Для демонстрации того, что такая система расширенного спектра позволяет более устойчивую передачу (относительно узкополосной системы), рассмотрим следующий пример. Представим, что в процессе детектирования решение относительно значения принятого символа принимается для каждого из 1000 элементарных сигналов. Разумеется, в действитель­ности такое не происходит; 1000 элементарных сигналов собираются, и проверяется их корреляция с кодом, что порождает единое решение относительно значения бита. Но даже если принять такую схему, то бит будет детектирован правильно, даже если 499 решений из 1000 будут неверными.

12.4. Системы со скачкообразной перестройкой частоты

В данном разделе рассматривается метод скачкообразной перестройки частоты (frequency hopping — FH). Для модуляции в данной схеме обычно используется М-арная частотная манипуляция (M-ary frequency shift keying — MFSK). При этой модуляции &=log₂М ин­формационных бит используются для определения одной из М передаваемых частот. По­ложение М-арного множества сигналов скачкообразно изменяется синтезатором частот на псевдослучайную величину, принадлежащую полосе И^. На рис. 12.11 представлена блок- схема системы FH/MFSK наиболее распространенного типа. В обычной системе MFSK несущая с фиксированной частотой модулируется символом данных; в системе FH/MFSK частота несущей является псевдослучайной. В обоих случаях передается один тон. Систему FH на рис. 12.11 можно рассматривать как двухэтапный процесс модуляции — модуляции информации и модуляции с перестройкой частоты — хотя он может быть реализован и как один этап, когда синтезатор частот производит тон передачи, основываясь на псевдо­случайном коде и информационной последовательности. При каждом скачке генератор псевдослучайного сигнала передает синтезатору частот частотное слово (последовательность из I элементарных сигналов), которое определяет одну из 2' позиций множества символов. Минимальное разнесение по частоте между последовательными скачками Af и шириной полосы перестройки частот определяет минимальное количе­ство элементарных сигналов частотного слова.

---

Дата добавления: 2015-10-28