Тема 3.1. Метод математической индукции

Одним из широко распространённых методов доказательства математических утверждений является метод математической индукции, основанный на принципе математической индукции.

Теорема (принцип математической индукции)

Пусть имеется некоторое утверждение которое формулируется для каждого натурального числа и пусть известно, что:

утверждение верно;

из того, что верно при следует, что верно.

Тогда утверждение верно для любого значения .

Доказательство:

Применим метод доказательства «от противного». Предположим, что, несмотря на истинность условий теоремы, утверждение верно не для всех натуральных . Тогда среди тех , для которых неверно, найдётся наименьшее число . Ясно, что так как в противном случае получаем противоречие с первым условием теоремы, то есть тоже натуральное число, для которого верно. Но тогда должно быть верным в силу второго условия теоремы. Мы пришли к противоречию, доказав тем самым утверждение теоремы.

Пример 3.1: Используя метод математической индукции, доказать формулу для суммы кубов последовательных натуральных чисел.

Решение:

Проверяем выполнение условий принципа математической индукции. При левая и правая части равны 1 т.е. формула верна. Пусть формула верна для всех тогда

т.е. формула верна и при значении . Следовательно, согласно принципу математической индукции, формула верна для любого натурального .

Пример 3.2: Доказать, что имеет место неравенство .

Решение:

Пусть - любое натуральное число. Тогда доказательство данного неравенства сводится к доказательству неравенства .

Докажем его методом математической индукции.

При имеем , т.е. неравенство верно.

Предположим, что неравенство верно для всех . Тогда:

т.е. неравенство верно и при , следовательно, на основании принципа математической индукции, неравенство верно для любого натурального .

Дата добавления: 2015-10-28