Тема 2.1. Основные определения теории множеств

Понятие множества является одним из фундаментальных понятий математики, которому трудно дать определение. Дело в том, что определить понятие – это значит найти такое родовое понятие, в которое это понятие входит в качестве вида, но понятие «множество» – это самое широкое понятие математики и математической логики, т.е. категория, а для категории нельзя найти более широкое, т.е. родовое понятие. Ограничимся описательным объяснением этого понятия.

Определение: Множество – это набор, совокупность каких-либо вполне различаемых объектов, называемых его элементами, обладающими общими для всех их и только их свойствами, и рассматриваемых как единое целое; (по Г.Кантору – «многое, определяемое как единое»). Поясним это понятие с помощью примеров. Можно говорить о множестве людей, живущих сейчас в России, о множестве точек данной геометрической фигуры, множестве решений данного уравнения. Обратите внимание, мы говорим о наборе вполне различимых между собой элементов, невозможно говорить о множестве капель в стакане воды, так как невозможно чётко и ясно указать каждую отдельную каплю.

Какова же структура множества, чем одно множество отличается от другого, какие математические и логические операции определены для множества?

Прежде всего, каждое множество состоит из того или иного набора объектов, которые называются элементами множества.

Факт, что элемент принадлежит множеству мы будем обозначать . Знак является стилизацией первой буквы e греческого слова edti - есть, быть.

Пример 2.1: В книжке Милна про Винни Пуха есть фрагмент, когда Кролик перечисляет жителей леса, а Винни несколько раз повторяет: «И ещё Иа, я про него чуть было не забыл». И хотя про Иа упоминают несколько раз, в лесу есть только один Иа.

Это одно из важнейших свойств множества: не повторяемость элементов множества. В каком бы порядке не перечислял бы Кролик обитателей леса, это будет одно и то же множество. Т.е. при задании элементов множества не имеет значения порядок элементов.

При этом, нужно иметь ввиду, что элемент и множество – это не одно и то же. Первое – это объект, обозначенный , второе – это множество, состоящее из единственного элемента . Поэтому можно сказать, что « принадлежит » – это истинное суждение. В то время как, « принадлежит » – это ложное суждение.

Порядок элементов в множестве несущественен. Множества и одинаковы.

Множество может задаваться:

· путём перечисления его элементов; таким образом задают конечные множества;

· путём описания свойств, общих для всех элементов этого множества, и только этого множества; это свойство называется характеристическим свойством, а такой способ задания множества описанием; таким образом, можно задавать как конечные, так и бесконечные множества; если мы задаём множество каким-либо свойством, потом может оказаться, что этим свойством обладает всего лишь один объект или вообще такого объекта нет; данный факт может быть совсем не очевиден;

· описанием правил, по которым строятся элементы множества.

Пример 2.2:

множество натуральных чисел , больших 1, таких что, уравнение имеет решение в ненулевых целых числах. Это множество содержит единственный элемент 2, но есть ли у него еще элементы, никто не знает.

Пример 2.3:

1. ;

2. если , то и ;

3. других элементов в нет.

Если характеристическим свойством, задающим множество не обладает ни один объект, то говорят, что множество пустое. Обозначается это так: .

Понятие пустого множества очень важное понятие. Оно позволяет описательно задавать множества, не заботясь, есть ли в этом множестве элементы и совершенно спокойно оперировать с этими множествами. Пустое множество будем считать конечным множеством.

Пример 2.4: множество действительных корней уравнения пустое.

Множества бывают конечными или бесконечными. Если число элементов множества конечно – множество называется конечным.

Определение: Количество элементов, составляющих множество, называется мощностью множества.

Определение: Если можно установить взаимооднозначное соответствие между элементами бесконечного множества и элементами множества целых положительных чисел, то говорят, что множество счётно.

Пример 2.5: множество действительных чисел, множество частных решений дифференциального уравнения – бесконечные множества; множество чисел, делящихся без остатка на 3 – счётное множество; множество букв русского алфавита, множество отличников вашей группы – конечно.

Определение: Два множества равны между собой, если они состоят из одних и тех же элементов. Т.е. любой элемент множества является элементом множества , и любой элемент множества является элементом множества .

Дата добавления: 2015-10-28