Тема 1.2. Алгебраические структуры

Алгебраические структуры обычно состоят из одного или нескольких множеств объектов и одной или нескольких операций, заданных на этих множествах, позволяя комбинировать элементы этих множеств тем или иным способом. Для конкретных алгебраических структур многие их свойства могут быть предсказаны на основании свойств используемых операций, т.е. мы можем разбивать алгебраические структуры на семейства, члены которых могут иметь много общего, и отнесение какой-либо алгебраической структуры к некоторому классу позволяет делать выводы относительно характерных свойств, присущих членам этого семейства. Будем считать, что – бинарная операция, заданная на непустом множестве .

Определение: Пусть дано некоторое множество , на котором задана совокупность операций . Структура вида называется алгеброй; множество называется несущим множеством, совокупность операций – сигнатурой, вектор «» операций называется типом.

Определение: Множество называют замкнутым относительно операции на множестве , если значения функции на аргументах принадлежат (то есть ). Если множество замкнуто относительно всех операций , то структура называется подалгеброй алгебры .

Пример 1.12:

а) Алгебра называется полем действительных чисел (определение понятия поля будет дано ниже). Её тип – . Это означает, что сигнатура данной алгебры содержит две бинарные операции. Здесь все конечные подмножества (кроме множества ) не замкнуты относительно обеих операций и, следовательно, не могут образовывать подалгебры. Но алгебра вида – поле действительных чисел – образует подалгебру.

б) Пусть задано множество . Множество всех его подмножеств – булеан, обозначается как или . Алгебра называется булевой алгеброй множеств над множеством . Её тип: . Для любого будет являться подалгеброй .

в) Множество одноместных функций на (то есть функций вместе с унарной операцией дифференцирования является алгеброй. Множество элементарных функций замкнуто относительно этой операции (поскольку производная любой элементарной функции есть также элементарная функция), поэтому образует подалгебру данной алгебры.

Определение: Замыканием множества относительно сигнатуры (обозначается ) называется множество всех элементов, которые можно получить из элементов этого множества, применяя операции из сигнатуры (включая сами элементы ).

Например, в алгебре целых чисел замыканием числа 2 является множество чётных чисел.

Теорема: Непустое пересечение подалгебр образует подалгебру.

Определение: Структура , называется полугруппой, если операция ассоциативна на .

Определение: Структура называется абелевой полугруппой, если операция коммутативна и ассоциативна на .

Пример 1.13: Структуры , , – являются абелевыми полугруппами.

Пример 1.14: Возьмём непустое множество символов, и назовём его алфавитом. На заданном алфавите определим слово, как конечную, упорядоченную последовательность символов данного алфавита. Рассмотрим множество возможных последовательностей – слов алфавита и введём на этом множестве операцию конкатенации следующим образом: если , то конкатенацией , будем называть строку, полученную путём приписывания слова к концу слова .

Для любого заданного алфавита операция конкатенации является ассоциативной операцией. Следовательно, по определению структура является полугруппой, однако не является абелевой полугруппой, в силу некоммутативности операции конкатенации.

Упражнение: Пусть определим операцию на этом множестве с помощью таблицы Кейли:

Покажите, что структура является полугруппой, но не является абелевой полугруппой.

Определение: Моноидом называется полугруппа , имеющая элемент идентичности.

Определение: Абелевым моноидом называется абелева полугруппа, имеющая элемент идентичности.

Пример 1.15: Структура – абелев моноид с элементом идентичности 1. Структура не является моноидом, т.к. в этой структуре нет элемента идентичности .

Структуры , – являются абелевыми моноидами с элементами идентичности 0 и 1 соответственно.

В примере 1.14 мы ввели операцию конкатенации на множестве слов некоторого алфавита. Если множество возможных слов пополнить пустой строкой , то и следовательно структура является моноидом.

Определение: Группой называется моноид, у которого каждый элемент имеет обратный.

Определение: Абелевой группой называется абелев моноид, у которого каждый элемент имеет обратный.

Пример 1.16: Структура – является абелевой группой с элементом идентичности 0 и обратным элементом для .

Структура – является абелевой группой с элементом идентичности 1 и обратным элементом для .

Пример 1.17: Введём на множестве бинарную операцию так, что . Будет ли структура группой?

Проверим сначала операцию на ассоциативность:

Следовательно, введённая операция ассоциативна – и данная структура является полугруппой.

Проверим, имеет ли данная система элемент идентичности

т.к. элемент он является элементом идентичности, и рассматриваемая структура является моноидом. Удостоверимся в наличии обратного элемента.

следовательно существует обратный элемент . По определению структура является группой.

Задание: покажите, что структура является абелевой группой.

Дата добавления: 2015-10-28