Читайте также: |
|
Биноминальная теорема. Для любых чисел и
, и для любого натурального
справедлива формула
Доказательство: Перемножим последовательно
раз. Тогда получим сумму
слагаемых вида
где
равно либо
, либо
. Разобьём все слагаемые на
подмножество
отнеся к подмножеству
все те произведения, в которых
встречается множителем
раз, а
встречается
раз.
Ясно, что каждый элемент – множества это перестановка с повторением, содержащая
элементов, среди которых
раз встречается
и
раз
. Следовательно,
Каждое слагаемое из равно
, поэтому
Теорема доказана.
Замечание. Числа называют биномиальными коэффициентами, а формулу предыдущей теоремы – формулой бинома Ньютона.
Числа обладают рядом важных свойств. Укажем некоторые из них и установим несколько интересных тождеств, которым удовлетворяют биномиальные коэффициенты.
Свойство 5.1:
Равенство легко проверяется вычислением значений и
.
Свойство 5.2:
Доказательство:
Следствие. Свойство 5.2 показывает, что биномиальные коэффициенты можно последовательно выписывать в виде треугольной таблицы, которая называется треугольником Паскаля:
В - ой строке треугольника Паскаля стоят коэффициенты разложения бинома Ньютона, причём каждый коэффициент, кроме двух крайних, которые равны единице, равен сумме двух его «охватывающих» коэффициентов из предыдущей строки.
Свойство 5.3: .
Это равенство было доказано ранее.
Свойство5.4:
Равенство получается из формулы бинома Ньютона, если в ней положить .
Свойство 5.5:
Доказательство: Рассмотрим все - элементные подмножества множества
т.е. множество
. Представим множество
в виде
где
– подмножество всех тех
- элементных подмножеств множества
, в которых элемент с наименьшим индексом равен
ясно, что
. Так как каждый элемент из
может быть получен присоединением к
некоторого
- элементного подмножества множества
то
.
Следовательно,
т.е.
Свойство 5.5 доказано.
Свойство 5.6: .
Доказательство: Запишем тождество
Откуда, используя формулу бинома Ньютона, получаем
или
Так как необходимыми и достаточными условиями тождественного равенства двух многочленов являются равенства коэффициентов при одинаковых степенях то, приравнивая коэффициенты при
в правой и в левой части последнего тождества, получаем
Свойство 5.6 доказано.
Полиноминальная теорема: Для любых заданных чисел и для любого натурального
имеет место равенство
где сумма в правой части распространена на всевозможные разбиения числа на
целых неотрицательных чисел.
Доказательство: Перемножим последовательно
раз. Тогда получим сумму
слагаемых вида
где
равно либо
,... либо
. Обозначим через
множество всех тех слагаемых, где
встречается множителем
раз,
–
раз,…,
–
раз, причём должно выполнятся равенство
. Ясно, что каждый элемент множества
– это перестановка с повторением. Следовательно,
Каждое слагаемое из равно
, поэтому
или
Теорема доказана.
Замечание: Числа называют полиномиальными коэффициентами. Полученная формула является обобщением формулы бинома Ньютона.
Замечание: Если числа получаются из чисел
перестановкой, то
. Поэтому, например, в разложении
коэффициенты при
и
одинаковы. Это облегчает выписывание членов разложения: достаточно найти полиномиальные коэффициенты для таких разбиений числа
что
, а потом переставлять показатели всеми возможными способами.
Дата добавления: 2015-10-28; просмотров: 90 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Тема 4.2. Размещения и перестановки | | | Тема 5.2. Понятие о методе рекуррентных соотношений |