Тема 5.1. Бином Ньютона

Биноминальная теорема. Для любых чисел и , и для любого натурального справедлива формула

Доказательство: Перемножим последовательно раз. Тогда получим сумму слагаемых вида где равно либо , либо . Разобьём все слагаемые на подмножество отнеся к подмножеству все те произведения, в которых встречается множителем раз, а встречается раз.

Ясно, что каждый элемент – множества это перестановка с повторением, содержащая элементов, среди которых раз встречается и раз . Следовательно,

Каждое слагаемое из равно , поэтому

Теорема доказана.

Замечание. Числа называют биномиальными коэффициентами, а формулу предыдущей теоремы – формулой бинома Ньютона.

Числа обладают рядом важных свойств. Укажем некоторые из них и установим несколько интересных тождеств, которым удовлетворяют биномиальные коэффициенты.

Свойство 5.1:

Равенство легко проверяется вычислением значений и .

Свойство 5.2:

Доказательство:

Следствие. Свойство 5.2 показывает, что биномиальные коэффициенты можно последовательно выписывать в виде треугольной таблицы, которая называется треугольником Паскаля:

В - ой строке треугольника Паскаля стоят коэффициенты разложения бинома Ньютона, причём каждый коэффициент, кроме двух крайних, которые равны единице, равен сумме двух его «охватывающих» коэффициентов из предыдущей строки.

Свойство 5.3: .

Это равенство было доказано ранее.

Свойство5.4:

Равенство получается из формулы бинома Ньютона, если в ней положить .

Свойство 5.5:

Доказательство: Рассмотрим все - элементные подмножества множества т.е. множество . Представим множество в виде где – подмножество всех тех - элементных подмножеств множества , в которых элемент с наименьшим индексом равен ясно, что . Так как каждый элемент из может быть получен присоединением к некоторого - элементного подмножества множества то .

Следовательно,

т.е.

Свойство 5.5 доказано.

Свойство 5.6: .

Доказательство: Запишем тождество

Откуда, используя формулу бинома Ньютона, получаем

или

Так как необходимыми и достаточными условиями тождественного равенства двух многочленов являются равенства коэффициентов при одинаковых степенях то, приравнивая коэффициенты при в правой и в левой части последнего тождества, получаем

Свойство 5.6 доказано.

Полиноминальная теорема: Для любых заданных чисел и для любого натурального имеет место равенство

где сумма в правой части распространена на всевозможные разбиения числа на целых неотрицательных чисел.

Доказательство: Перемножим последовательно раз. Тогда получим сумму слагаемых вида где равно либо ,... либо . Обозначим через множество всех тех слагаемых, где встречается множителем раз, – раз,…, – раз, причём должно выполнятся равенство . Ясно, что каждый элемент множества – это перестановка с повторением. Следовательно,

Каждое слагаемое из равно , поэтому

или

Теорема доказана.

Замечание: Числа называют полиномиальными коэффициентами. Полученная формула является обобщением формулы бинома Ньютона.

Замечание: Если числа получаются из чисел перестановкой, то . Поэтому, например, в разложении коэффициенты при и одинаковы. Это облегчает выписывание членов разложения: достаточно найти полиномиальные коэффициенты для таких разбиений числа что , а потом переставлять показатели всеми возможными способами.

Дата добавления: 2015-10-28