Борзунова А.А., Бебутян М., Кулиев В.Д.

§1. В.Д. Кулиевым предложен следующий метод суммирования рядов. Рассмотрим ряд

Если функция f(z) регулярна в правой полуплоскости Re z≥m, z -плоскости и такова, что ее модуль при при достаточно больших R может быть как мал, так и велик, то для суммирования рядов такого типа метод Плана не применим. Поэтому возникает необходимость в разработке метода суммирования рядов, учитывающего и это обстоятельство.

Обозначение. Под S_α понимается сектор, образованный двумя лучами в z -плоскости, исходящими из точки O₁(m,0) симметрично относительно действительной оси под углом α (0<α≤π/2).

Теорема Кулиева. Пусть:

1°. Функция f(z) регулярна внутри и на границе сектора S_α.

2°. Функция f(z) в точках z=k, где k=m, m+1, m+2,…, не имеет нулей.

3°. Угол α такой, что предельное равенство

(1.1)

выполняется равномерно по

4°. Несобственный интеграл

(1.2)

сходится.

Тогда

(1.3)

где

Этот метод в дальнейшем назовем - метод.

§2. Рассмотрим следующую задачу. Пусть длина стержня равна l. Направим ось x вдоль стержня так, чтобы его торцевые сечения заняли положения и . Боковую поверхность стержня будем считать теплоизолированной. Требуется найти решение уравнение теплопроводности (2.1) при граничных условиях

(2.1)

и начальном условии

(2.2)

где , - некоторые заданные функции. Предполагается, что функция определена в промежутке и удовлетворяет на нем условиям для стержня в промежутке .

Решение данной задачи известно и имеет вид:

(2.3)

Формулу (2.3) можно записать так:

(2.4)

Здесь

(2.5)

Применяя - метод суммирования рядов к рядам в формуле (2.5) получаем:

(2.6а)

(2.6)

Формула (2.3) в силу равенств (2.4) и (2.6) принимает вид:

(2.7)

Из (2.6) следует, что функции и определены в промежутке , причем

(2.8)

(2.9)

Вычисляя интеграл в (2.9), находим

(2.10)

Из (2.7) в силу (2.8), (2.10) и (2.6а) имеем:

1º. Если и , .

2º. Если и , .

3º. Если и , то

4º. Если , и , то

(2.11)

Функция , определяемая по формуле (2.11), является решением однородного уравнения

(2.12)

и удовлетворяет условиям

(2.13)

т.е. функция является решением задачи о распространении тепла в полуограниченном стержне с теплоизолированной боковой поверхностью при условиях (2.13).

Решение данной задачи известно [ ]. Однако, предлагаемые методы его построения представляются достаточно громоздкими. Применение – метода суммирования к рядам (2.5) позволяет получать решение такой задачи несколько проще.

Список литературы:

1. Кулиев В.Д. Сингулярные краевые задачи. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

Дата добавления: 2015-09-01