Свойства опорных функций

1. Опорная функция положительно однородна, то есть

для любого вектора и любого числа . В частнос­ти, .

2. Для любых двух векторов опорная функция удовлетворяет неравенству

Следствие 1. Опорная функция является выпуклой.

3. Пусть Тогда опорная функция суммы равняется сумме двух опорных функций и , то есть

4. Пусть - матрица размером , а Тогда

где матрица, транспонированная к матрице А.

5. Пусть a произвольное число. Тогда

Следствие 2. Опорная функция положительно однородна по первому аргументу , то есть для любого числа .

6. Пусть Если выполняется включение , то для любого вектора справедливо неравенство

Следствие 3. Пусть Если точка принадлежит множеству , то для любого вектора выполняется неравенство

7. Пусть Тогда опорные функции множеств и совпадают, то есть

8. Пусть заданы множество и его опорная функция . Тогда выпуклая оболочка множества представляется в виде

Здесь и далее S – единичная сфера с центром в начале координат.

9. Пусть Если для любого вектора выполняется неравенство

то точка принадлежит выпуклой оболочке множества

Следствие 4. Пусть множество В таком случае точка принадлежит множеству тогда и только тогда, когда неравенство выполняется для любого вектора .

10. Пусть Если для любого вектора выполняется неравенство

то справедливо включение GÌ coF.

Следствие 5. Пусть и множество выпукло. Тогда включение справедливо тогда и только тогда, когда для любого вектора выполняется неравенст­во (8).

11. Пусть Если множества и равны, то их опорные функции совпадают. Наоборот, если их опорные функции совпадают, то

Следствие 6. Множества равны тогда и только тогда, когда их опорные функции совпадают. Таким образом, множество можно однозначно восстановить по его опорной функции .

12. Пусть . Если множества и пересекаются, то есть , то для любого вектора выполняется неравенство

Наоборот, если выполняется соотношение для любого вектора , то

Следствие 7. Два множества пере­секаются тогда и только тогда, когда неравенство выполняется для любого вектора .

13. Опорная функция для любых двух множеств и любых двух векторов удовлетворяет неравенству

Следствие 8. Опорная функция непрерывна по совокупности переменных в любой точке и, следовательно, непрерывна по каждой из переменных в отдель­ности.

14. Пусть Если точка является внутренней точкой множества , то для любого вектора выполняется неравенство

Наоборот, если соотношение выполняется для любого вектора , то

Следствие 9. Точка принадлежит внутренности множества тогда и только тогда, когда не­равенство справедливо для любого вектора .

15. Пусть заданы два множества Тогда справедливо соотношение

Следствие 10. Для множеств справедливо равенство

Заметим, что если множества не являются выпуклыми, то в формуле может быть строгое неравенство.

Дата добавления: 2015-09-05