Читайте также: |
|
А. В. Арсірій, О. Д. Кічмаренко, Н. В. Скрипник
Многозначний аналіз та
лінійні задачі керування
Методичні вказівки та варіанти контрольних робіт
для студентів 3 - 6 курсів
Одеса
«Астропринт»
Методичні вказівки та варіанти контрольних робіт до спецкурсу “Многозначний аналіз та лінійні задачі керування ” для студентів 3 - 6 курсів факультету прикладної математики і комп’ютерних мереж.
Рецензенти: А. В. Плотніков, д. ф. - м. н., професор,
О. А. Тінгаєв, к. ф. - м. н., доцент
Рекомендовано до друку Вченою радою ІМЕМ ОНУ ім. І. І. Мечникова.
Протокол № 2 від “ 14” листопада 2006 р.
© А. В. Арсірій, О. Д. Кічмаренко,
Н. В. Скрипник, 2008
![]() | ||
![]() |
СОДЕРЖАНИЕ
Литература. 4
Пространства и
............... 5
Опорная функция и ее основные свойства. 14
Многозначные отображения. Интеграл Ауманна. 20
Линейная задача быстродействия. Принцип максимума Понтрягина. 26
Контрольная работа № 1. 51
Контрольная работа № 2. 62
Контрольная работа № 3. 70
Контрольная работа № 4. 71
ЛИТЕРАТУРА
1. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. – М.:Высш.шк., 2001. – 239 с.
2. Благодатских В.И. Линейная теория оптимального управления. – М.:Изд-во МГУ, 1978. – 94 с.
3. Благодатских В.И. Теория дифференциальных включений. – М.:Изд-во МГУ, 1979.
4. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. – М.: КомКнига, 2005. – 216 с.
5. Половинкин Е.С. Теория многозначных отображений. М.: Изд-во МФТИ, 1983.
6. Филатов О.П. Лекции по многозначному анализу и дифференциальным включениям.- Самара: Изд-во “Самарский университет”, 2000. – 116 с.
7. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. – М.: Наука, 1985. – 224 с.
8. Aumann R.J. Integrals of set - valued functions // J. Math. Anal. Appl. – 1965. – Vol.12, № 1. – P.1 – 12.
ПРОСТРАНСТВА И
Пусть -
- мерное евклидово векторное пространство с элементами
Пространство
является линейным пространством с обычными операциями сложения векторов, умножения вектора на число и скалярным произведением
а также нормированным пространством с нормой
.
Рассмотрим пространство , состоящее из всех непустых компактных подмножеств пространства
Определение 1. Алгебраической суммой или просто суммой двух множеств и
из пространства
называется множество
Сумма +
двух множеств
и
из пространства
является также Элементом пространства
Кроме того, если множества
,
выпуклы, то их алгебраическая сумма
+
также будет выпуклым множеством.
Если множество состоит из единственной точки, то есть
, то множество
получается параллельным сдвигом множества
на вектор
.
Пусть шар радиуса
с центром в точке
то есть
Тогда
то есть при сложении двух шаров их радиусы суммируются и векторы, задающее центры шаров, также суммируется.
Из этой формулы при мы получаем, что
Операция алгебраической суммы для любых множеств удовлетворяет следующим свойствам:
1) коммутативности
2) ассоциативности
3) существует нулевой элемент :
Следует отметить, что если множество состоит более чем из одной точки, то у такого множества нет обратного элемента относительно введенной операции суммы множеств, то есть не существует такое множество
что
Если же
то
Пример 1. Найти сумму множеств
и
заданных аналитически или изображенных на рисунке:
1) Пусть Тогда по определению суммы множеств
2) Пусть Тогда по определению суммы множеств
3) Пусть множества и
изображены на рисунке:
Так как множество одноточечное, то множество
получается из множества
параллельным сдвигом на 5 единиц вправо:
4) Пусть множества и
изображены на рисунке:
Для любых элементов справедливы неравенства
Тогда сумма
удовлетворяет неравенству
Таким образом,
Кроме того, для любого элемента существуют элементы
и
такие, что
например
при
и
при
Следовательно,
Окончательно множество
имеет вид:
5) Пусть множества и
изображены на рисунке:
Так как множество одноточечное, то множество
получается из множества
параллельным переносом на вектор
:
6) Пусть множества и
изображены на рисунке:
Для любой точки множество
получается из множества
параллельным сдвигом на вектор
то есть представляет собой окружность единичного радиуса с центром в точке
Когда элемент
“пробегает” множество
окружность
“движется” параллельно оси
в результате образуя выпуклое множество, изображенное на рисунке:
7) Пусть множества и
изображены на рисунке:
Аналогично предыдущему примеру получаем:
8) Пусть множества и
изображены на рисунке:
Для любой точки множество
получается из множества
параллельным сдвигом на вектор
то есть представляет собой окружность единичного радиуса с центром в точке
Когда элемент
“пробегает” множество
центр окружности
движется по единичной окружности
в результате получаем выпуклое множество S2(0), изображенное на рисунке:
9) Пусть множества и
изображены на рисунке:
Аналогично предыдущему примеру получаем:
10) Пусть множества и
изображены на рисунке:
Тогда аналогично предыдущему их сумма имеет вид:
11) Пусть множества и
изображены на рисунке:
Тогда аналогично предыдущему их сумма имеет вид:
Определение 2. Произведением множества на число
называется множество
Произведение на произвольное число
является элементом пространства
Кроме того, если множество
выпуклое, то и множество
также выпуклое.
При умножении шара радиуса с центром в a на число
радиус шара умножается на
а центр – на
то есть
Таким образом, учитывая формулу, имеем
Непосредственно проверяется, что для любых чисел и любых двух множеств
выполняются следующие свойства:
1)
2)
3)
Пространство не является линейным пространством с введенными операциями алгебраической суммы двух множеств и умножения множества не число хотя бы потому, что не у каждого элемента
есть обратный элемент
Кроме того, не всегда выполняется необходимый для линейности закон дистрибутивности, то есть не всегда выполняется равенство:
Вместо равенства в формуле справедливо лишь одностороннее включение
Оказывается, что если и множество
выпукло, то формула в этом случае справедлива.
Пример 2. Найти произведение множества
на скаляр
1) Пусть F ={1,5}, l=2. Тогда
2) Пусть множество F изображено на рисунке:
Тогда для любого элемента справедливо неравенство
а значит для любого элемента
справедливо неравенство
то есть
Кроме того, для любого элемента
найдется элемент
такой, что
то есть
Окончательно получаем, что множество
имеет вид:
3) Пусть множество F – единичная сфера в пространстве
Тогда в силу определения 2 множество G – сфера радиуса 2 с центром в начале координат:
4) Пусть F – единичный шар в пространстве
Тогда в силу множество G – шар радиуса с центром в начале координат:
5) Пусть F – единичный квадрат,
Тогда в силу определения 2 любому элементу соответствует элемент
то есть множество
симметрично множеству
относительно начала координат. В данном примере
6) Пусть множество F изображено на рисунке:
Аналогично предыдущему примеру множество симметрично множеству
относительно начала координат:
Рассмотрим подпространство пространства
, состоящее из всех непустых выпуклых компактных подмножеств пространства
Приведенные выше свойства операций алгебраической суммы множеств и умножения множества на число показывают, что если рассматривать умножение выпуклых множеств только на неотрицательные числа, то для пространства
справедливы все аксиомы линейности, кроме аксиомы существования обратного элемента.
Пусть и в пространстве
задано линейное преобразование с помощью матрицы
(с действительными элементами) размером
.
Определение 3. Образом множества при линейном преобразовании, задаваемом матрицей
, называется множество
Легко проверить, что образ множества при линейном преобразовании также является элементом пространства
Кроме того, если множество
выпуклое, то и множество
также выпукло.
Дата добавления: 2015-09-05; просмотров: 49 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Метонимия | | | Пример 3. |