Читайте также:
|
|
Итак, мы определили операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на число. При этом для любых векторов и произвольных действительных чисел можно при помощи геометрических построений обосновать следующие свойства операций над векторами. Некоторые из них очевидны.
1. Свойство коммутативности .
2. Свойство ассоциативности сложения .
3. Существует нейтральный элемент по сложению, которым является нулевой вектор , и . Это свойство очевидно.
4. Для любого ненулевого вектора существует противоположный вектор и верно равенство . Это свойство очевидно без иллюстрации.
5. Сочетательное свойство умножения . К примеру, растяжение вектора в 6 раз можно произвести, если сначала его растянуть вдвое и полученный вектор растянуть еще втрое. Аналогичного результата можно добиться, например, сжав вектор вдвое, а полученный вектор растянуть в 12 раз.
6. Первое распределительное свойство . Это свойство достаточно очевидно.
7. Второе распределительное свойство . Это свойство справедливо в силу подобия треугольников, изображенных ниже.
8. Нейтральным числом по умножению является единица, то есть, . При умножении вектора на единицу с ним не производится никаких геометрических преобразований.
Рассмотренные свойства дают нам возможность преобразовывать векторные выражения.
Свойства коммутативности и ассоциативности операции сложения векторов позволяют складывать векторы в произвольном порядке.
Операции вычитания векторов как таковой нет, так как разность векторов и есть сумма векторов и .
Учитывая рассмотренные свойства операций над векторами, мы можем в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования так же как и в числовых выражениях.
Разберем на примере.
Пример.
Упростите выражение, содержащее векторы .
Решение.
Если воспользоваться вторым распределительным свойством операции умножения вектора на число, то получим .
В силу сочетательного свойства умножения имеем .
Свойство коммутативности операции сложения векторов позволяет поменять местами второе и третье слагаемые , а по первому распределительному свойству имеем .
А теперь запишем кратко: .
Ответ:
.
17)Уравнение плоскости имеет вид: , где , , и – числовые коэффициенты.
Пусть нам нужно написать уравнение плоскости, которая проходит через точки , и
Так как точки принадлежат плоскости, то при подстановке их координат в уравнение плоскости, мы получим верные равенства.
Так как у нас три точки, мы должны получить систему из трех уравнений с четырьмя неизвестными. Примем коэффициент равным 1. Для этого разделим уравнение плоскости на . Получим:
Мы можем переписать это уравнение в виде:
Внимание! Если плоскость проходит через начало координат, то d=0.
Чтобы найти коэффициенты А, В и С, подставим координаты точек , и в уравнение плоскости .
Получим систему уравнений:
Решив ее, мы найдем значения коэффициентов А, В и С.
18) Уравнение прямой в пространстве
Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 144 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Операция умножения вектора на число. | | | Параметрические уравнения прямой в пространстве |