Задание 3. Построить интегральные линии данного дифференциального уравнения первого порядка

Построить интегральные линии данного дифференциального уравнения первого порядка. Найти уравнение интегральной линии, проходящей через точку . Проанализировать теорему существования и единственности частных решений для данного ДУ:

.

Решение

Интегральные линии дифференциального уравнения – это графическое изображение общего решения ДУ;

для дифференциального уравнения первого порядка интегральные линии представляют собой однопараметрическое семейство линий на плоскости XOY.

Поэтому находимобщее решение данного ДУ: <=>

<=> - линейное ДУ вида =>

метод решения: ;

ДУ: <=> <=> ;

ДУ для функции <= <=> <=> <=> <=>

ДУ для функции <=> ;

общее решение исходного ДУ: ;

геометрически общему решению соответствует семейство парабол, ветви которых направлены вверх и которые пересекают ось ОX в точках и .

Изменяя значения произвольной постоянной , получим несколько интегральных линий данного ДУ (рис. 1):

если , то - парабола с вершиной ;

если , то - парабола с вершиной ;

если , то - парабола с вершиной ;

если , то парабола с вершиной ;

заметим, что все параболы, имеющие уравнение , проходят через начало координат.

x

y

 

-1

-1

Рис. 1

Находим интегральную линию, проходящую через точку :

подставим , в найденное общее решение и определим значение , соответствующее начальному условию :

x

y

3,75

1,875

-3,5

Рис. 2

M ₀(4;1)

возвращая полученное значение общее решение, получим частное решение данного ДУ, соответствующее поставленному начальному условию: . Геометрически ему соответствует парабола с вершиной в точке

(1,875;-3,5) и проходящая через очку M ₀(4;1), которая изображена на рисунке 2.

Проанализируем теорему существования и единственности частных решений для данного ДУ первого порядка. Для этого сначала сформулируем эту теорему:

Если

1) дано ДУ 1-го порядка, записанное в канонической форме ,

2) дана фиксированная точка , которой соответствует начальное условие

3) функции и непрерывны в точке ,

то существует единственное частное решение ДУ, удовлетворяющее данному начальному условию, то есть существует единственная интегральная линия ДУ, проходящая через точку .

Проанализируем на непрерывность функции и для данного ДУ:

,

обе функции непрерывны для всех точек , кроме тех точек, в которых . По теореме существования и единственности заключаем, что:

1) через каждую точку , у которой проходит единственная интегральная линия данного ДУ;

2) точки не удовлетворяют теореме существования и единственности, поэтому они являются особыми точками для данного ДУ; через каждую из этих точек может проходить или несколько интегральных линий, или ни одной, но может быть и одна интегральная линия.

В данной задаче через особую точку проходят все интегральные линии, через остальные точки , у которых , не проходит ни одна интегральная линия.

Ответ по задаче 3:

1) - уравнение множества интегральных линий ДУ ; интегральные линии построены на Рис. 1;

2) - уравнение интегральной линии, проходящей через точку ; эта линия построена на Рис. 2;

3) в результате анализа теоремы существования и единственности частных решений получено, что через каждую точку , у которой , проходит единственная интегральная линия;

точки вида , заполняющие полностью ось OY, являются особыми точками данного ДУ.

---

Дата добавления: 2015-08-26