Выбор 1/4-реплик.

При исследовании влияния пяти факторов можно поставить не 16 опытов, как в предыдущем примере, а только 8, т.е. воспользоваться репликой 2^5–2. Здесь возможны двенадцать решений, если x₄ приравнять парному взаимодействию, а х₅ – тройному:

1. x₄= x₁x₂ x₅= x₁x₂x₃

2. x₄= x₁x₂ x₅= –x₁x₂x₃

3. x₄= –x₁x₂ x₅= x₁x₂x₃

4. x₄= –x₁x₂ x₅= –x₁x₂x₃

5. x₄= x₁x₃ x₅= x₁x₂x₃

6. x₄= x₁x₃ x₅= –x₁x₂x₃

7. x₄= –x₁x₃ x₅= x₁x₂x₃

8. x₄= –x₁x₃ x₅= –x₁x₂x₃

9. x₄= x₂x₃ x₅= x₁x₂x₃

10. x₄= x₂x₃ x₅= –x₁x₂x₃

11. x₄= –x₂x₃ x₅= x₁x₂x₃

12. –x₄= x₂x₃ x₅= –x₁x₂x₃

Допустим, выбран пятый вариант: x₄= x₁x₃ и x₅= x₁x₂x₃. Тогда определяющими контрастами являются: l=x₁x₃x₄ и 1=x₁x₂x₃x₅.

Если перемножить эти определяющие контрасты, то получится третье соотношение, задающее элементы столбца 1=x₂x₄x₅. Чтобы полностью охарактеризовать разрешающую способность реплики, необходимо записать обобщающий определяющий контраст 1 = x₁x₃x₄=x₂x₄x₅=x₁x₂x₃x₅

Система смешивания определяется умножением обобщающего определяющего контраста последовательно на х₁, х₂, х₃ и т. д.

x₁= x₃x₄= x₁x₂x₄x₅= x₂x₃x₅

x₂ = x₁x₂x₃x₄= x₄x₅= x₁x₃x₅

x₃= x₁x₄= x₂x₃x₄x₅= x₁x₂x₅

x₄= x₁x₃= x₂x₅= x₁x₂x₃x₄x₅

x₅= x₁x₃x₄x₅= x₂x₄= x₁x₂x₃

x₁x₂= x₂x₃x₄= x₁x₄x₅= x₃x₅

x₁x₅= x₃x₄x₅= x₁x₂x₄= x₂x₃

Получается довольно сложная система смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия первого, второго, третьего и четвертого порядков. Если, например, коэффициенты b₁₂ и b₁₅ отличны от нуля, то возникают сомнения, можно ли пренебрегать другими парными взаимодействиями, с которыми смешаны линейные эффекты. Тогда следует поставить вторую серию опытов, выбрав нужным образом другую 1/4-реплику.

При этом можно воспользоваться методом «перевала». Смысл этого метода заключается в том, что вторая четверть-реплика получается из первой путем изменения всех знаков матрицы на обратные. Тогда в обобщающем определяющем контрасте тройные произведения имеют знак, противоположный их знаку в первой четверть-реплике. Тройные произведения определяют парные взаимодействия в совместных оценках для линейных эффектов. Усредняя результаты обеих четверть-реплик, можно получить линейные эффекты, не смешанные с парными взаимодействиями.

Для дополнения 1/4-реплики до 1/2-реплики, если есть подозрения, что эффекты взаимодействия первого порядка отличаются от нуля, нужно взять вторую четверть-реплику с обобщающим контрастом, в котором два тройных произведения имеют отрицательный знак, так как тройные произведения определяют парные взаимодействия в совместных оценках для линейных эффектов.

Однако можно представить себе и такой случай, когда целесообразно освободить линейные эффекты от эффектов взаимодействия второго порядка и только часть из линейных эффектов от парных взаимодействий. Тогда нужно выбрать 1/4-реплику таким образом, чтобы в обобщающем определяющем контрасте произведение четырех членов имело отрицательный знак, так как это произведение определяет тройные взаимодействия в совместных оценках для линейных эффектов.

Достоинство принципа насыщения становится более ощутимым с ростом факторов. Например, при изучении 15 факторов имеется возможность проведения 16 экспериментов, вместе 32768 (2¹⁵).

Характеристика дробных реплик

Число факторов	Дробная реплика	Условное обознач.	Число опытов
для дробных реплик	для полного факторного эксперим.
	1/2 – реплика от 2^3	2^3–1
	1/2 – реплика от 2^4	2^4–1
	1/4 – реплика от 2^3	2^5–2
	1/8 – реплика от 2^5	2^6–3
	1/16 – реплика от 2^6	2^7–4
	1/2 – реплика от 2^5	2^5–1
	1/4 – реплика от 2^6	2^6–2
	1/8 – реплика от 2^7	2^7–3
	1/16– реплика от 2^8	2^8–4
	1/32-реплика от 2^9	2^9–5
	1/64-реплика от 2^10	2^10–6
	1/128-реплика от 2^11	2^11–7
	1/256-реплика от 2^12	2^12–8
	1/512-реплика от 2^13	2^13–9
	1/1024-реплика от 2^14	2^14–10
	1/2048-реплика от 2^15	2^15–11

Способ сокращения числа экспериментов можно сформулировать в виде общего правила.

Чтобы сократить число опытов, нужно дополнительно вводимый в эксперимент фактор варьировать как вектор–столбец матрицы, соответствующий взаимодействию, которым можно пренебречь. Тогда изменение уровней нового фактора определится знаками этого вектор–столбца.

При выборе дробных реплик необходимо определить и проанализировать с учетом априорной информации схему замещения оценок коэффициентов модели. С этой целью вычисляют генерирующие соотношения, которые показывают, с каким из эффектов смешан данный эффект.

В задачах с большим числом факторов выбор взаимодействия для насыщения плана решает относительно непросто. Следует помнить, что основное положение при выборе взаимодействий в общем случае состоит в следующем. При введении в эксперимент новых факторов следует выделять им столбцы матрицы, принадлежащие взаимодействиям с более высоким порядком. Так, вводя 4–й фактор в план 2³, следует варьировать х₄ как столбец матрицы с взаимодействием третьего порядка х₁x₂x₃, т. е. х₄=х₁x₂x₃, так как предположение об отсутствии взаимодействия х₁x₂x₃ более реально, по сравнению, например, с взаимодействием x₁x₂.

Дата добавления: 2015-08-20