Лабораторная работа 6

Читайте также:

Цель работы – изучение основного закона динамики вращательного движения твердого тела на примере маятника Обербека.

Описание экспериментальной установки

Маятник Обербека представляет собой крестовину, состоящую из четырёх стержней с нанесенными на них делениями, прикреплённых к барабану с осью (рис.6.1). На стержни надеваются одинаковые грузы в виде цилиндров массой , радиусом и образующей , которые могут быть закреплены на расстоянии от оси вращения. На шкив радиусом наматывается нить, к свободному концу которой прикрепляется груз массой . Под действием груза нить разматывается и приводит маятник во вращательное движение, которое предполагается равноускоренным. Время движения груза измеряется электронным секундомером, включение которого производится кнопкой «Пуск», а остановка происходит по сигналу фотодатчика. Груз опускается на расстояние h, измеряемое вертикально закрепленной линейкой. Установка имеет электромеханическое тормозное устройство, управление которого осуществляется по сигналу фотодатчика.

Рис.6.1

Методика эксперимента и вывод рабочих формул

Вращение – одна из распространенных форм движения в природе и технике. Вращаются колеса автомобилей, оси различных движущихся агрегатов, вращаются планеты вокруг своих осей и вокруг Солнца, вращаются звезды и целые галактики. Знать хорошо механику полезно и с той точки зрения, что часто механические модели используются для объяснения более сложных физических явлений в молекулярной физике, электродинамике, атомной физике и т. д. Таким образом, для дальнейшего успешного изучения физики и других дисциплин, в том числе и специальных, необходимо прочно усвоить фундаментальные законы механики и, конечно, основной закон динамики вращательного движения твердого тела.

Абсолютно твердым телом называется такое тело, расстояния между частицами которого не меняются во время движения.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси все его точки описывают окружности определенных радиусов . Центры этих окружностей лежат на оси вращения (рис. 6.2).

Рис.6.2

Для характеристики вращательного движения твердого тела вводят понятие угловой скорости.

Угловая скорость – это векторная физическая величина, характеризующая быстроту вращательного движения твердого тела:

. (6.1)

Единицей измерения угловой скорости в системе СИ является .

Вектор называется вектором элементарного углового перемещения. Длина его численно равна углу поворота , выраженного в радианах, а направление совпадает с перпендикуляром к плоскости, в которой происходит этот поворот: если рукоятку правого винта вращать по направлению движения точки, то поступательное движение самого винта совпадает с направлением (правило буравчика).

Как следует из (6.1) угловая скорость соноправлена с вектором элементарного углового перемещения ( ).

Вектор может изменяться с течением времени как за счет изменения величины скорости вращения тела вокруг оси, так и за счет изменения направления вращения.

Угловое ускорение – это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости:

. (6.2)

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости , т.е. при ускоренном вектор сонаправлен с вектором (), при замедленном движении вектор направлен противоположно () (см. рис.6.2). Единицей измерения углового ускорения в системе СИ является радиан на секунду в квадрате .

Вращение можно также характеризовать линейной скоростью , линейным ускорением , а также нормальным и тангенциальным ускорением (см. гл.1).

Мерой действия, вызывающего вращение твердого тела, является момент силы:

, (6.3)

где – радиус-вектор точки приложения силы; – сила, приложенная к телу; – угол между направлениями векторов и . Момент силы направлен вдоль оси вращения твердого тела.

Следует помнить, что одна масса не является мерой инертности при вращательном движении твердого тела, так как при одной и той же массе инертность вращающихся тел может быть разной из-за различного ее распределения относительно оси вращения.

Мерой инертности при вращательном движении твердого тела является момент инерции – скаляр, определяемый как

или для однородных тел

, (6.4)

где , – масса малого или элементарного объема твердого тела; – расстояние от этого объема до оси вращения.

Момент инерции сложного тела равен сумме моментов инерции его составных частей.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы на квадрат расстояния между осями:

. (6.5)

Величина момента инерции тела зависит от массы тела и её распределения относительно оси вращения.

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела – геометрическая сумма моментов внешних сил , действующих на тело, равна скорости изменения момента импульса этого тела

, (6.6)

где в случае тела, симметричного относительно неподвижной оси вращения,

(6.7)

есть момент импульса твердого тела, совпадающий по направлению с вектором угловой скорости .

При с учетом (6.7) закон (6.6) имеет вид

, (6.8)

где угловое ускорение .

Экспериментальная проверка выполнения закона (6.8) состоит в том, чтобы показать:

1) пропорциональность углового ускорения моменту силы , т.е. , которое проверяется при неизменном моменте инерции для двух разных моментов сил и :

. (6.9)

2) обратную пропорциональность углового ускорения моменту инерции , т.е. , проверяется при неизменном моменте силы для двух разных моментов инерции и :

. (6.10)

При в течение времени формула (6.6) преобразуется в формулу . Тогда для двух разных опытов можно проверить справедливость отношения

или

, (6.11)

если отсчет времени производится от .

Величины и – соответствующие изменения моментов импульсов твердого тела при начальной угловой скорости .

Для более полной и детальной информации следует обратиться к литературе, например [1-4].

На рис.6.1 показаны силы, действующие на различные элементы установки. Так, на груз действуют: – сила тяжести; – сила реакции нити. На нить: – сила со стороны груза , – сила со стороны блока; – сила тяжести, если нить весомая. На блок: – сила со стороны нити; – сила реакции со стороны оси; – сила тяжести блока, крестовины и четырех грузов массой (последние две на рисунке не показаны). Поступательное движение груза , нити и вращательное движение маятника можно описать с помощью второго и третьего законов Ньютона и основного закона динамики вращательного движения твердого тела (6.8):

, (6.12)

, ,

где – момент сил трения (тормозящий момент); , , – моменты сил , , соответственно; – момент инерции крестовины с грузами (); , – масса и ускорение нити.

Полагаем, что нить нерастяжима, тогда ее ускорение равно ускорению груза . Нить не скользит по блоку. Это означает, что равно тангенциальному ускорению точек блока на его боковой поверхности: . При этом условии угловое ускорение ε можно найти из равенства

. (6.13)

При условии невесомости нити из второго и четвертого уравнений (6.12) следует, что . Моменты сил и , так как силы пересекают ось вращения. Момент силы , согласно (6.3), равен . Поскольку (см. рис.6.1),

. (6.14)

Полагая в (6.12) и учитывая (6.13) и (6.14), из (6.12) в проекциях на оси и получим

(6.15)

Из (6.15) найдем момент силы :

(6.16)

и момент инерции вращающейся части установки:

. (6.17)

Из уравнения (6.16) видно, что момент силы в рассматриваемой системе тел зависит от массы груза и радиуса блока. От этих же факторов зависит и ускорение . Движение груза можно считать равноускоренным, так как сила при постоянстве перечисленных ранее факторов не меняется. Тогда ускорение груза при его начальной скорости определится по формуле