Парамагнетизм

Теперь мне бы хотелось описать явление парамагнетизма вещества. Предположим, имеется вещество, в составе которого имеются атомы, обладающие постоянным магнитным моментом, например кристаллы медного купороса. В этих кристаллах содержатся ионы меди, у которых электроны на внутренних оболочках имеют суммарный момент количества движения и магнитный момент, не равные нулю. Таким образом, ионы меди будут источником постоянного магнитного момента молекул купороса. Буквально несколько слов о том, какие атомы имеют постоянный магнитный момент, а какие — нет. Любой атом, у которого число электронов нечетно, подобно натрию, напри­мер, будет иметь магнитный момент. На незаполненной оболочке натрия имеется один электрон. Этот электрон и определяет спин и магнитный момент атома. Однако обычно при образовании соединения этот дополнительный электрон на внешней оболочке спаривается с другим электроном, направление спина которого в точности противоположно, так что все моменты количества движения и магнитные моменты валентных электронов в точности компенсируют друг друга. Вот почему молекулы, вообще го­воря, не обладают магнитным моментом. Конечно, если у вас есть газ атомов натрия, то там такой компенсации не происхо­дит. Точно так же если у вас есть то, что в химии называется «свободным радикалом», т. е. объект с нечетным числом валент­ных электронов, то связи оказываются неполностью насыщен­ными и появляется ненулевой момент количества движения.

У подавляющего большинства материалов полный магнитный момент появляется только тогда, когда там присутствуют атомы с незаполненной внутренней электронной оболочкой. Благода­ря этому они могут иметь суммарный момент количества дви­жения и магнитный момент. Такие атомы принадлежат к «пере­ходным элементам» периодической таблицы Менделеева, на­пример: хром, марганец, железо, никель, кобальт, палладий и платина — элементы как раз такого сорта. Кроме того, все редкоземельные элементы имеют незаполненную внутреннюю оболочку, а следовательно, и постоянные магнитные моменты. Правда, встречаются еще странные вещества (к числу их отно­сятся жидкий кислород и окись азота), которые, оказывается, тоже обладают магнитным моментом, но объяснить причины этих странностей я предоставляю химикам.

Предположим теперь, что у нас есть ящик, наполненный молекулами или атомами с постоянным магнитным моментом, скажем газ, жидкость или кристалл. Нам хочется знать, что получится, если мы поместим его во внешнее магнитное поле. В отсутствие магнитного поля атомы сбиваются тепловым движением и их магнитные моменты распределяются по всем направлениям. Но когда действует магнитное поле, оно выстра­ивает эти маленькие магнитики, так что магнитных моментов, направленных по полю, становится больше, чем направленных против него. Материал «намагничивается».

Намагниченность М материала мы определяем как полный магнитный момент единицы объема, под которым мы понимаем векторную сумму всех атомных магнитных моментов единицы объема. Если среднее число атомов в единице объема равно N, а их средний момент равен < m >_cp, то М можно записать как про­изведение N на средний магнитный момент:

м = n< m >_cp. (35.8)

Это определение М аналогично определению электрической поляризации Р, данному в гл. 10 (вып. 5).

Классическая теория парамагнетизма, как вы уже убедились в гл. 10 (вып. 5), в точности аналогична теории диэлектрической проницаемости. Предполагается, что магнитный момент m каждого из атомов всегда имеет одну и ту же величину, но может быть направлен в любую сторону. Магнитная энергия в поле В равна - m•B =-mBcosq, где q — угол между моментом и полем. Согласно статистической физике, относительная вероят­ность угла равна e^{-энергия/kT} так что угол 0° более вероятен, чем угол p. Следуя в точности по пути, проделанному нами в гл. 11, § 3 (вып. 5), мы обнаружим, что для слабых магнитных полей М направлена параллельно В и имеет величину

[См. выражение (11.20), вып. 5.] Эта приближенная формула верна, только когда отношение m B/kT много меньше единицы.

Мы нашли, что намагниченность, т. е. магнитный момент единицы объема, пропорциональна магнитному полю. Это яв­ление и называется парамагнетизмом. Вы увидите, что эффект сильнее проявляется при низких температурах и слабее при высоких. При помещении вещества в магнитное поле возникаю­щий в нем магнитный момент в случае слабых полей пропор­ционален величине поля. Отношение М к В (для слабых полей) называется магнитной восприимчивостью.

Рассмотрим теперь парамагнетизм с точки зрения квантовой механики. Обратимся сначала к атомам со спином ¹/₂. Если в отсутствие магнитного поля атомы обладают вполне определенной энергией, то в магнитном поле энергия изменится; возможны два значения энергии для разных значений J_z. Для J_z=+h/2

магнитное поле изменяет энергию на величину

(Для атомов сдвиг энергии DU положителен, ибо заряд элек­трона отрицателен.) Для J_г =- h/2 энергия изменяется на величину

Для сокращения записи обозначим

тогда

DU = ±m₀В. (35.13)

Совершенно ясен и смысл m₀; — m ₀ равно z-компоненте маг­нитного момента для спина, направленного вверх, а + m₀ равно z-компоненте магнитного момента в случае спина, на­правленного вниз.

Статистическая механика говорит нам, что вероятность нахождения атома в каком-то состоянии пропорциональна

g^{- (энергия состояния)/kT}_.

В отсутствие магнитного поля энергия обоих состояний одна и та же, поэтому в случае равновесия в магнитном поле ве­роятности пропорциональны

е^-DU/kT, (35.14)

Число же атомов в единице объема со спином, направленным вверх, равно

а со спином, направленным вниз,

Постоянная а должна определяться из условия

N_вверх+N_вниз=N (35.17)

т.е. равна полному числу атомов в единице объема. Таким образом, мы получаем

Однако нас интересует средний магнитный момент в на­правлении оси z. Каждый атом со спином, направленным вверх, дает в этот момент вклад, равный -m₀, а со спином, направленным вниз, + m₀, так что средний момент будет

Тогда М — магнитный момент единицы объема — будет равен N<m>_ср. Воспользовавшись выражениями (35.15)—(35.17), по­лучим

Это и есть квантовомеханическая формула для М в случае атомов со спином j=¹/₂. К счастью, ее можно записать более коротко через гиперболический тангенс:

График зависимости М он В приведен на фиг. 35.7.

Фиг. 35.7. Изменение намаг­ниченности парамагнетика при изменении напряженности магнитного поля В.

Когда поле В становится очень большим, гиперболический тангенс приближается к единице, а М — к своему предельному зна­чению Nm₀. Таким образом, при сильных полях происходит насыщение. Нетрудно понять, почему так получается — ведь при достаточно больших полях все магнитные моменты выстраи­ваются в одном и том же направлении. Другими словами, при насыщении все атомы находятся в состоянии со спинами, направленными вниз, и каждый из них дает вклад в магнитный момент, равный m₀.

Обычно при комнатной температуре и полях, которые можно получить (порядка 10000 гс), отношение m ₀B/kT равно при­близительно 0,02. Чтобы наблюдать насыщение, необходимо спуститься до очень низких температур. Для комнатной и более высоких температур обычно можно thx заменить на x и написать

Точно так же, как и в классической теории, намагничен­ность М оказывается пропорциональной полю В. Даже формула оказывается той же самой, за исключением того, что в ней, по-видимому, где-то потерян множитель ¹/₃. Но нам еще нужно связать m ₀ в квантовомеханической формуле с величиной m, которая появилась в классическом результате, в выражении (35.9).

В классической формуле у нас появилось m ²=m•m — квадрат вектора магнитного момента, или

В предыдущей главе я уже говорил, что очень часто правильный ответ можно получить из классических вычислений с заменой J•J на j (j+1)h². В нашем частном примере j=¹/₂, так что

j(j+1)h²=³/₄h².

Подставляя этот результат вместо J•J в (35.23), получаем

или, вводя величину m ₀, определенную соотношением (35.12), получаем

m•m =3m²₀.

Подставляя это вместо m² в классическое выражение (35.9), мы действительно воспроизведем истинный квантовомеханический результат — формулу (35.22).

Квантовая теория парамагнетизма легко распространяется на атомы с любым спином j. При этом для намагниченности в слабом поле получим

где

представляет комбинацию постоянных с размерностью магнит­ного момента. Моменты большинства атомов приблизительно равны этой величине. Она называется магнетоном Бора. Спи­новый магнитный момент электрона почти в точности равен

Дата добавления: 2015-08-20