Класифікація функцій

1. Елементарні функції- функції, отримані з основних елементарних функцій за допомогою скінченого числа алгебраічних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення) і суперпозиції функцій (взяття функції від функції). 1) Степенева , де n – дійсне число. 2) Показникова , де . 3) Експоненціальна , де 2,7182. 4) Логарифмічна , де . (Натуральна ) 5) Тригонометричні: , , , , . 6) Обернені тригонометричні: , , . 7) Гіперболічні: , ,, 2. Алгебраічні функції -мають 4 арифметичні операції. 1) Ціла раціональна функція –многочлен n степені. , де - дійсні числа, - ціле. Степень многочлена визначається найвищою степенню його одночленів. Корень многочлена – таке значення змінного ч, при якому многочлен перетворюється в нуль Р(х) = 0. Приведенним є многочлен , коли . Теорема Даламбера, уточнив Гаус – доводе існування кореня у многочлена, не даючи методів знаходження його. Теорема Безу: Якщо число - корень многочлена Р(х), то цей многочлен без залишку ділиться на (х – а) і навпаки. . Якщо серед коренів є рівні, то вони кратні:   2) Дробово-раціональна функція. , де - дійсні многочлени. Правильна дріб – якщо степень чисельника нище степеня знаменника. Частинні випадки: 1. Дробово – лінійна 2. Обернена пропорційність . 3) Іраціональна функція –алгебраічна функція з добування кореня n степеня.

1. Трансцендентна функція– що не є алгебраічною: , , де

α – іраціональне, , тригонометричні та обеонені тригонометричні.

1. Обернена функція , якщо - пряма. ,

Графіки прямої і оберненої функцій симетричні відносно прямої у = х.

1. Складна функція (суперпозіція функцій – композиція функцій) . , де z - проміжний аргумент

Це результат послідовного застосування функцій.

Характеристики функцій:

1. Неперервність або дискретність.

Функція f(х), визначена в точці х = х₀ та в її околі неперервна при х = х_0., якщо нескінчено малому приросту аргументу ∆х в точці х = х₀ відповідає нескінчено малий приріст ∆у.

Якщо функція f(х) неперервна в кожній точці інтервалу (а,b), то вона

неперервна в інтервалі (а,b).

Функція f(х) неперервна на відрізку [а,b], якщо вона неперервна в

інтервалі (а,b) і на кінцях інтервалу, зліва і справа.

Властивості неперервних функцій:

1. Алгебраічна сума та добуток скінченої кількості функцій, неперервних в точці х_0, є функцією неперервною в х_0.

2. Частка скінченої кількості функцій, неперервних в точці х_0, є функцією неперервною в х₀, якщо дільник при х = х₀ не дорівнює нулю.

3. Неперервна функція від неперервної функції є також функцією неперервною.

4. Усі основні елементарні функції неперервні в кожній точці своєї

5. Будь-яка елементарна функція неперервна в кожній точці своєї .

6. Функція, обернена до неперервної функції – неперервна на цьому інтервалі.

Теорема Вейєрштраса. Якщо функція f(х) неперервна на відрізку [а,b], то вона обмежена на відрізку [а,b], тобто існують числа М і m, що для усіх .

---

Дата добавления: 2015-07-25