Многочлен Ньютона

Также как и многочлен Лагранжа относится к глобальной интерполяции и имеет вид

(2.10)

Задача состоит в определении коэффициентов . Для чего воспользуемся формулой (2.3) и (2.10)

,

что получило название разделенной разности первого порядка. В общем виде

(2.11)

отсюда после преобразований

В общем виде

(2.12)

что называется разделенной разностью 2-го порядка.

Аналогично получаем , что позволило ввести понятие разделенной разности n -го порядка

, (2.13)

Тогда с учетом формул (2.11), (2.12), (2.13) многочлен Ньютона (2.10) примет вид, который называется многочленом Ньютона с разделенными разностями или многочленом Ньютона для не равноотстоящих узлов

(2.14)

Что касается разделенных разностей, то их рассматривают как обобщенное понятие производной соответствующего порядка.

При использовании формулы Ньютона удобно расчеты разделенных разностей представить в виде таблицы.

Таблица разделенных разностей

х	У	1-го порядка	2-го порядка	3-го порядка

До сих пор не делалось никаких предположений о законе распределения узлов интерполирования.

Теперь рассмотрим случай равноотстоящих значений аргумента, т.е.

,

h - называется шагом интерполирования.

В этом случае формула (2.11) имеет вид

, (2.15)

где - называют конечной разностью первого рядка.

Формула (2.12) примет вид

(2.16)

где - конечная разность 2-го порядка.

Аналогично для формулы (2.13) имеем

, (2.17)

где - конечная разность n -порядка.

С учетом формулы (2.15)-(2.17) формулу (2.14) можно переписать в виде

(2.18)

Полученное выражение может интерполировать функцию на всем отрезке изменения аргумента . Однако более целесообразно (с точки зрения повышения точности расчетов и уменьшения числа членов в (2.18)) ограничиться случаем, когда . Для других значений аргумента, например, для вместо лучше взять значение .

Формула (2.18) получила название первого интерполяционного многочлена Ньютона для интерполирования вперед. Ее обычно используют для вычисления значений функции в точках левой половины отрезка .

Для правой половины отрезка лучше воспользоваться вторым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад

(2.19)

Как первая, так и вторая формулы Ньютона могут быть использованы для экстраполирования функции, т.е. нахождения значений функции y для значений аргументов х, лежащих вне пределов таблицы. Если и , то удобно использовать первую формулу Ньютона, которую можно назвать для интерполирования вперед и экстраполирования назад.

Если и , то удобно использовать вторую формулу Ньютона, которую можно назвать для интерполирования назад и экстраполирования вперед.

Естественно, что операция экстраполирования менее точна, чем операция интерполирования.

Процесс вычислений по 1-й или 2-ой формулам Ньютона удобно свести в горизонтальную таблицу конечных разностей.

Таблица конечных разностей

Х	у
		_	_ _	_ _ _

В заключении отметим, что существует один и только один интерполяционный многочлен при заданном наборе узлов интерполяции. Формулы Лагранжа, Ньютона порождают один и тот же многочлен, при условии, что вычисления проводятся точно. Разница лишь в алгоритме их построения. Выбор способа интерполяции (локальная или глобальная) определяется различными соображениями: точностью, временем вычислений, погрешностями округления.

В некоторых случаях более предпочтительной может оказаться локальная интерполяция, в то время как построение единого многочлена высокой степени (глобальная интерполяция) не приводит к успеху, т.е. повышение точности интерполяции напрямую не связано с повышением степени интерполяционного многочлена. Доказано (математик Рунге в 1901г.), что повышение точности интерполирования целесообразно производить за счет уменьшения шага интерполирования и специального расположения узлов интерполирования.

Дата добавления: 2015-07-19