Проводник произвольной формы в однородном диэлектрике

Пусть плотность заряда на проводнике равна .

Линии и перпендикулярны поверхности проводника.

Выберем мысленную поверхность в виде очень маленького цилиндра (на рисунке – красным), основания которого параллельны поверхности проводника, а боковая поверхность параллельна линиям . По теореме Остроградского-Гаусса (dS – площадь оснований), откуда

.

Далее, как и в предыдущем примере, находим Е и Р в диэлектрике:

,

И плотность связанного заряда на поверхности диэлектрика, примыкающей к проводнику:

.

Полученные формулы справедливы для проводника любой формы, погруженного в диэлектрическую среду.

Найдем еще суммарный заряд на границе проводник-диэлектрик, т.е. сумму стороннего заряда на проводнике и связанного на диэлектрике:

σ_общ .

Мы видим, что суммарный заряд на каждом элементе поверхности в раз меньше заряда проводника, поэтому и поле Е в раз меньше, чем было бы в вакууме.

См. также решении задачи 3.9.

§ 4. Граничные условия для и .

Как изменяются и на границе раздела двух диэлектриков (или диэлектрика и вакуума)?

Будем считать, что на границе нет сторонних зарядов.

1. Возьмем контур АВСD, стороны AB и СD которого прилегают очень близко к поверхности раздела, а стороны ВС и AD очень малы. Пусть длина сторон AB и СD равна . Циркуляция вектора по этому контуру определяется значениями касательных (тангенциальных) его составляющих и :

,

откуда получаем: .

Тангенциальная составляющая непрерывна на границе диэлектриков.

2. Окружим кусочек границы замкнутой поверхностью в виде малого цилиндра, основания S которого перпендикулярны границе, а площадь боковой поверхности стремится к нулю. Пусть - нормаль к поверхности раздела, направленная из среды 1 в среду 2. Поток вектора через торцы цилиндра определяется нормальными составляющими и . Запишем теорему Остроградского-Гаусса для вектора : (т.к. внутри поверхности нет стороннего заряда). Поэтому

.

Нормальная составляющая непрерывна на границе диэлектриков.

Применим эти граничные условия, чтобы выяснить, как меняется направление линий и на границе раздела двух диэлектриков.

Преломление линий и на границе раздела

Покажем, что линии и испытывают на границе излом, если они не перпендикулярны к поверхности раздела (т.е. эта поверхность не эквипотенциальна).

Для простоты рассмотрим границу раздела диэлектрика с вакуумом.

Пусть - поле в вакууме, причем линии напряженности подходят к границе под углом . Найдем напряженность в диэлектрике и угол , образуемый полем в диэлектрике с границей. Запишем граничные условия:

, откуда следует (1)

(2).

Эти формулы показывают, что тангенциальная составляющая не изменилась, а нормальная уменьшилась в раз, как изображено на рисунке.

Как видно из рисунка, , . С помощью (1) и (2) находим:

.

Угол, образуемый линиями напряженности с нормалью к поверхности раздела, увеличился.

Аналогичные рассуждения можно провести для вектора : его нормальная составляющая не изменяется на границе, а тангенциальная увеличивается в раз (это следует из условия , или , т.е. ).

Найдем теперь модуль напряженности в диэлектрике:

< .

Напряженность в диэлектрике меньше, чем в вакууме, но не в раз.

На поверхности диэлектрика образуется связанный заряд. Часть линий напряженности заканчивается на связанных зарядах, как показано на рисунке.

Линии связанных зарядов «не замечают», поэтому после преломления они становятся гуще: > .

Докажем теорему:

Если поверхность однородного незаряженного диэлектрика совпадает с эквипотенциальной поверхностью поля, созданного сторонними зарядами, то напряженность поля в диэлектрике в раз меньше поля тех же сторонних зарядов, но в отсутствие диэлектрика.

Доказательство простое.

Поверхность эквипотенциальна, поэтому , а значит и , перпендикулярны к ней. Нормальная составляющая непрерывна: . Это значит, что .

Но (вакуум),

(диэлектрик),

Поэтому , что и требовалось доказать.

Дата добавления: 2015-07-19