III. Электростатика проводников и диэлектриков 2 страница

Магнитное поле постоянного тока

1. Постоянное магнитное поле описывается уравнением Максвелла

;

Для изотропных сред имеется связь

2. Законы Максвелла в интегральной форме: (теорема Стокса). Контур выбирается так, чтобы значение не было постоянным по контур.

Если у нас несколько ниток тока, то

3. Закон Био – Савара.

, где - элемент ток, - расстояние от элемента тока, до точки наблюдения.

4. Векторный потенциал - вводится по аналогии с электростатическим потенциалом .

; ; ; (здесь удобная замена )

5. Скалярный потенциал можно ввести, если , то есть.

Граничные условия:

, где нормаль к границе раздела.

- плотность поверхностного тока

количество электричества, протекающего в единицу времени через единицу длины отрезка, расположенного на поверхности, по который течёт ток, и перпендикулярного направлению тока.

241. Внутри тонкой проводящей цилиндрической оболочки радиуса находится коаксиальный с ней провод радиуса . По этим проводникам текут постоянные токи одинаковой величины в противоположных направлениях. Определить магнитное поле , создаваемое такой системой во всех точках пространства. Найти .

1 способ: использовать теорему Стокса

1) внутренний контур

, - здесь const

2) очевидно, что контур охватывает ток текущий по внутреннему проводнику.

;

3) ; в контур попадают два тока, одинаковой величины, но противоположного направления:

2 способ. Интегрирование уравнений Максвелла

;

Будем решать в ЦСК. Вектор должен быть перпендикулярно и одновременно

Итак решаем уравнение:

1) ;

;

Очевидно, что

2) ; здесь

Сшиваем

; ;

3) ; Здесь тоже нет тока,

(решение такое же как в обл. 2)

Условие сшивки:

автоматически!

242. Определить напряженность магнитного поля и магнитную индукцию , создаваемые постоянным током , текущим по бесконечному проводнику кругового сечения радиуса . Магнитная проницаемость проводника равна , окружающего проводник вещества .

1. Решение ищем методом векторного потенциала

, сл. ; далее

1) ;

Система имеет цилиндрич. Симметрию, сл. у вектора отлична от нуля только компоненты

, но

Итак

2) , то есть в среде, где

Находим неизвестные … из условия сшивки:

;

Здесь тоже самое, что и в

243. То же, что задача 242, но для тонного полого цилиндра.

1) В этой обл.

Из условия

2) Здесь решение совпадает с тем, которое было в 242

Здесь следует аккуратно записать

Сшиваем:

3) . В третьем обл. тока нет, ; ;

Сшиваем ; ;

; ; .

Можно далее определить через , то есть остается одна компонента.

244. Прямолинейная, бесконечная длинная полоса имеет ширину , вдоль полосы течет ток , равномерно распределенный по её ширине. Найти .

Используем закон Био - Савара .

1. здесь важно правильно определить, что такое элемент тока.

Что бы преобразовать выражение для нужно

где

здесь вектор - есть радиус вектор проведенный от элемента тока в точку наблюдения

последнее выражение подставим в , и сразу видим, что отличается от нуля только компоненты и так как.

Найдем также модуль

Получаем выражение для интегрирования:

Вычислим вспомогательный интеграл по - одинаковый для обоих компонент.

При имеем:

Полезные интегралы

246 Найти векторный потенциал и магнитное поле , создаваемые двумя прямолинейными параллельными токами J, текущими в противоположенных направлениях. Расстояние между токами 2а.

Или в плоскости x, y

Будем исходить из определения . поскольку есть сумма отдельных потенциалов, создаваемых каждым током (с учетом знака!), то

Второй предел раскрываем по Лопиталю

или разложением

Результат

Какие компоненты не равны нулю

Рассмотрим пример: , следовательно, отличены от нуля компоненты x, y

Что нужно хорошо объяснить:

Или

вектор (или ) всегда перпендикулярна плоскости, проведенный через вектор и

Векторный потенциал и магнитный момент контура с током.

Рассмотрим векторный потенциал произвольный системы токов: - расстояние от элемента тока до точки наблюдения .

Выберем условную точку. О, которою назовем центром токов

Если то есть, расстояние до точки наблюдения намного превышает размеры системы токов, то

В этом разложении можно ограничиться 2-мя членами. Тогда

Доля можно убедиться, что

тогда

где

Чтобы вычислить этот интеграл умножим его на произвольный, но постоянный вектор

Где мы учили, что считается постоянным.

Мы рассмотрим, постоянные токи, т.е.

-поверхность объема интегрирования.

Поскольку это равенство получено для любого , то

Введем обозначение

Это магнитный момент токов, циркулирующих в объеме , или просто,,магнитный момент объема ,,

Окончательно

Здесь - проекция на нормаль к

Комментарий:

1. Отношения двух последних членов к первому составляют , где -поперечные размеры объема , следовательно на расстоянии ( мы выводим эту формулу именно исходя из такого условия!!!) эти два члена будут малы, то есть можно считать

2. Если, однако, , то определяется двумя другими членами!!!

Пример: производная системы замкнутых токов, заключенных в объеме , то есть когда через поверхность токи не протекают: на поверхности

Здесь не существенно от какой именно точки системы токов отчитывается , так как расстояние до точки наблюдения Р много больше самой системы.

Линейные токи

для линейного тока переходит

где -векторная величина поверхности конуса, образного радиусами – векторами проведенными из условного центра токов О ко всем точкам контура тока , то есть то есть

3. Поле системы токов на расстоянии значительного превышающем ее размеры

Далее:

Так как не зависит от координат

окончательно имеем:

№ 253Сфера радиуса, заряженная зарядом равномерно по поверхности, вращается вокруг одного из своих диаметров с угловой скоростью . Найти внутри и вне сферы. Выразить во внешней области через магнитный момент

1) по определению

Более в общем виде т.к.

2) по определению направим ось по вектору т.е.

Дата добавления: 2015-07-17