III. Электростатика проводников и диэлектриков 1 страница

Для диэлектриков имеет место система

здесь: - плотность свободных зарядов в диэлектриках

- полный свободный заряд в S

Для связанных зарядов , - вектор поляризации или электрический дипольный момент единицы объем диэлектрика, создаваемый связанными зарядами.

В изотропных диэлектриках

В анизотропных диэлектриках

Потенциал удовлетворяет уравнению

Очевидно, что если то

Граничные условия:

;

;

- поверхностная плотность свободных зарядов

129. Точечный заряд расположен на плоской границе раздели двух однородных бесконечных диэлектриков ( и ). Найти потенциал , напряженность и индукцию .

Система уравнений для однородных диэлектриков. Потенциал и напряженность поля точечного заряда в однородном диэлектрике равны

;

- обобщенный закон Кулона

Вариант 1

Если в точке находится заряд q, в диэлектрике происходит поляризация, и на поверхности раздела образуется поверхностная плотность связанных зарядов Появление связанного заряда на поверхности можно отразить наличием заряда изображения - в области II и + в области I. В целом должен соблюдаться нейтралитет.

Тогда имеем где

,

На границе раздела имеем , где

(1)

на границе, так как нет свободных зарядов

(2)

имеем систему

То есть

Если теперь поместить на границе раздел, то есть взять , то имеем искомое решение. Для однородных сред:

или

;

Вариант 2.

Можно использовать обобщенный закон Кулона

- заряд, индуцированный в диэлектрике, в целом должно быть нейтральным. На плоскости , то есть на границе раздела имеем , то есть

Вариант 3

Потенциал всюду, кроме точки О удовлетворяет уравнению Лапласа: ; то есть: ; .

Через верхнюю полусферу идет поток , а через нижнюю , а

; то есть

131. Центр проводящего шара, заряд которого , находится на плоской границе раздела двух бесконечных однородных диэлектриков с проницаемостью и . Найти потенциал , а так же распределение заряда на шаре.

1) ( на поверхности при ).

Следующем поступаем также, как в предыдущей (129) задаче

2)

;

3) Поле внутри сферы

4) Распределение свободных зарядов находим из условий

;

5) Распределение плотности связанных зарядов:

, но

;

133. Внутри сферического конденсатора с радиусами обкладок a и b диэлектрическая проницаемость меняется так:

Найти емкость C конденсатора: распределение связанных зарядов и полный заряд в диэлектрике.

1) ; (ан. Результат для сферы)

2) аналогично, , здесь

3)

Comments:

.

Емкость С находим как , то есть 2 параллельных конденсатора. Здесь важно, что заряд берется на внутренней стороне поверхности:

Постоянный ток.

Распределение токов в проводящей среде с удельной проводимостью описывается объемной плотностью тока :

(1).

Это следствие закона сохранения тока.

Плотность тока в среде пропорциональна - напряженности электрического поля и - напряж. поля сторонних сил:

(2)

Аналогично электростатике удобно ввести скалярный потенциал :

, (3)

знак (-) означает, что электрическое поле направлено в область отрицательного, то есть., указывает направление увеличения .

Можно теперь объединить уравнение (1)-(3):

(4).

На границе разрыва или , ,

На поверхности изоляторов:

Если среда состоит из однородных областей и не содержит внутри себя сторонник э.д.с., то .

На границе каждой области потенциал (и его 1-ая производная) должны быть непрерывными: , , ; где - нормаль к поверхности раздела сред.

228. Постоянный ток течет по бесконечно длинному прямому проводу радиуса с проводимостью . Провод окружен коаксиальной цилиндрической проводящей оболочкой.

Внутренний радиус оболочки , наружный радиус . Найти электрическое поле во всем пространстве. Определить распределение поверхностных зарядов . Диэлектрическая проницаемость среды между проводниками равна .

1) ; Закон Ома для нашего случая , будем считать что

Здесь будет знак (+), так как за направление тока берется движение положительных зарядов. Сл. получаем уравнение для :

2) Найдем поле вне провода: .

Будем исходить из уравнения Лапласа для потенциала:

.

Так как задача обладает цилиндрической симметрией, . Будем искать решение в виде , ; так как поле однородное, то

1) 2)

Общее решение получаем с точностью до комбинации констант:

.

3) Для области 3

Аналогическое решение

а) , так как , при

б) для любого ,

в) Comments: решение для должно быть трансляционно-инвариантным по , то есть всегда можно переопределить так, чтобы .

Итак

4) Из условия непрерывности при переходе из одной области в другую определим const

а)

Сравниваем слева и справа члены при

б)

3. Поверхностная плотность заряда

Определяется разностью на поверхности (двухсторонней поверхности!)

, где связь между вектором эл. смещения и напряж. такая: ; ;

Очевидно, что отличен от нуля только

;

229. Три проводника с круглыми сечениями одного и того же радиуса соединены последовательно, образуя замкнутое кольцо. Длины проводников , проводимости . По объему проводника с проводимостью равномерно распределена сторонняя ЭДС , не зависящая. Найти электрическое поле и распределение зарядов внутри кольца.

1) Чтобы узнать ток в заданной цепи, находим общее сопротивление: проводники соединены параллельно, сл

2) Закон Ома для полной цепи

3) На (1) участке

4) На (2) участке

5) На (0) участке есть сумма падений напряжения на участках (1) и (2)

, то есть,

Распределение зарядов находим из условия на границе проводников (1) и (2), где ; то есть

Аналогично для других границе раздела,

240. Частицы с зарядом и массой могут в неограниченном количестве испускается электродом ().Испущенные с нулевой скоростью частицы ускоряются электрическим полем в направлении другому электроду, параллельному первому и отстоящему от него на расстояние . Разность потенциалов между электродами . Эмиссия продолжается до тех пор пока поле объемного заряда не компенсирует внешнее поле у поверхности одного электрода, так что напряженность результирующего поля станет равна нулю . Найти зависимость плотности постоянного тока от разности потенциалов .

Считать , где - плотность тока, - скорость частицы в данной точке.

Напишем закон сохранение энергии для этой задачи:

Для потенциала имеем условия

Плотность объемного заряда:

тогда уравнение Пуассона имеет вид: . ГУ для : и

Будем решать дифференциальное уравнение по установкой Эйлера: ; из ГУ: ; сл:

Дата добавления: 2015-07-17