Глава II. Постоянное электрическое поле в вакууме.

1. Напряженность электрического поля удовлетворяет уравнениям Максвелла (*)

2. Интегральная форма уравнения (*) [Электростатическая теорема Гаусса]:

где S – замкнутая поверхность, охватывающая заряд q.

3. Напряженность и потенциал связаны соотношением:

4. Потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона:

5. На границе равномерно заряженной поверхности потенциал является непрерывным . Но нормальные производные терпят разрыв:

или

6. На поверхности двойного электрического слоя мощностью

7. Принцип суперпозиции:

№69 Бесконечная плоская плита толщиной, а равномерно заряжена по объему с плотностью . Найти

Ищем решение для из уравнения Пуассона:

1) (внутри плиты)

2) (вне плиты)

,

,

Анализируем внутренне решение

Положим и , тогда

Теперь будем сшивать решение (1) и (2)

и при

Ответ:

№72 Бесконечно длинный круглый цилиндр радиуса R равномерно заряжен по объему(и по поверхности) так, что на единицу его длины приходится заряд . Найти и

Плотность заряда

1) Рассмотрим поле внутри цилиндра

Согласно электростатической теореме Гаусса:

- т.к. обладает аксиальной симметрией

2) Внешнее решение

или

è Из - за симметрии задачи

Условие непрерывности, т.е. при можно получить только из и

Ответ:

;

№73. Найти потенциал и электрического поля равномерно заряженной прямолинейной бесконечной нити.

Самый простой способ это теорема Гаусса.

, где - линейная плотность

Т.к. задача имеет аксиальную симметрию, то

Пологая получим

№74. Найти потенциал и напряженность поля равномерно заряженного отрезка длинной , занимающего часть оси z от - а до +а; заряд отрезка равен q

№76. Найти и поля шара, равномерно заряженного по объему. Радиус шара R, заряд q

1) Внутренняя задача

Т.к. поле обладает радиальной симметрией:

2) Внешняя задача

Найдем значения и :

а) Будем исходить из определения

б)

Здесь всегда .

№77. Найти потенциал и напряженность электрического поля сферы радиуса R, равномерно заряженный по поверхности . Заряд сферы q.

Используем уравнение Лапласа:

Для

Для

С другой стороны

Сшиваем:

№ 78. Внутри шара радиуса , равномерно заряженного по объему с плотностью , имеется незаряженная шарообразная полость радиус которой R, а центр отстает от центра шара на расстояний . Найти электрическое поле в полости.

№ 79. Пространство между двумя кончестрическими сферами раиусы которых и , заряженно с объемной плотностью . Найти полный заряд q, потенциал и напряжение электрического поля . Рассмотреть предельный случай , считая при этом .

Ответ.

1) Определим заряд q

2) Найдем

3)

Сшиваем:

№81 Заряд распределен сферически симметрично . Разбив распределение заряда на сферические слойки, выразить через потенциал и напряженность поля.

Используем разложение:

Вычисляем угловую часть

№83. Заряд электрона распределен в атоме водорода находящемся в нормальном состоянии, с плотностью , где - Боровский радиус атома, - элементарный заряд. Найти и . Найти и атома, считая, что заряд протона сосредоточен в начале координат.

Используем формулу задачи 81

Поле точечного заряда

Ответ:

Полный потенциал:

для любых n

86. Плоскости двух тонких коаксиальных равномерно заряженных колец радиуса R находится на расстоянии a друг от друга. Работа, которую нужно совершить, чтобы перенести точечный заряд q из в центр каждого из колец, равна . Найти заряды на кольцах

Ответ

Решаем «вспомогательную» задачу: определяем кольца на оси. В точке напряжение поля . В силу симметрии

Работа по перенесению заряда равна разности потенциалов

№ 87. Найти потенциал и напряженность и поля на оси равномерно заряженного круглого тонкого диска радиуса R; заряд диска q

ответ

Скачок составляющий

№ 88. Круглое кольца радиуса R состоит из двух заряженных полуколец с зарядами q и – q. Найти и на оси (вблизи оси) каков характер поля при ?

Решение ищется вблизи оси z.

определено в интервале и

определено в интервале

94. Найти потенциал электрического поля на больших расстояниях от следующих систем зарядов.

А) заряды q, - 2q, q расположены по оси z на расстоянии, а друг от друга [линейный квадруполь]

Б) в квадрате

А) Производящая функция для полиномов Лежандра:

Б)

№ 98. Два коаксиальных кольца равномерно заряжены, радиуса а с зарядом q, с зарядом (-q), . Лежат в одной плоскости. Найти на больших расстояниях.

В силу симметрии задачи можно расположить точку Р в плоскости (x,z). Для кольца радиуса R:

Вычислим

Снова используем стандартное разложение:

Аналогично для кольца в:

№107 Найти потенциал электрического поля на большом расстоянии от двух близких параллельных линейных зарядов и , расположенных на расстоянии друг от друга (двумерный диполь).

и так

пусть

Воспользуемся разложением:

.

Считаем предел:

Второе слагаемое можно раскрыть либо по Лопиталю

А)

Б)

119. Найти распределение зарядов, создающих в вакууме потенциал тела Юкавы:

Используем уравнение Пуассона:

в СИ:

121. Найти энергию взаимодействия электронного облака с ядром в атоме водорода. Заряд электрона распределен в атоме с объемной плотностью .

где - потенциал протона

122. В некотором приближении можно считать, что электрическое облако

двух электронов в атоме гелия имеют одинаковый вид и характеризуются объемной плотностью . Найти взаимодействия двух электронов.

123. Центры двух шаров с зарядами и находятся на расстоянии друг от друга . Заряды распределены сферически симметричным образом. Найти энергию шаров и действующую между ними силу .

это есть потенциал шара создаваемое во внешней области, то есть

заметим, что но

Обобщенная сила: .

126. Найти силу и вращательный момент , приложенные к электрическому диполю с моментом в поле точечного заряда .

Потенциальная энергия диполя в электростатическом поле

Сила

создается точечным зарядом , то есть

Момент сил =

Дата добавления: 2015-07-17