Задачи на основные интегральные теоремы

Теорема Остраградский Гаусса:

Теорема Стокса:

№49 Интеграл по объему преобразовать в интеграл по поверхности

è

№ 50. Вычислить интегралы:

и , где - непостоянный вектор, - орт нормали к поверхности, т. е.

Постановка задачи: найти вектор

Решение: Искать будем , где - некоторый постоянный вектор.

т.е.

Интегралы по замкнутой поверхности , , преобразовать в интегралы по объему, заключенному внутри поверхности. Здесь - постоянный вектор, - орт нормали

Идея та же: нужно иметь выражение

1)

2)

3)

№55. Преобразовать к интегралу по поверхности

№ 56. преобразовать в интеграл по поверхности

№ 57. Доказать тождество

1)

2) Аналогично

1) - 2) = и.т.д.

№58. внутри объема V, a на границе объема (поверхности) . Показать, что

, но и по этому

№59. Показать, что , где - вектор определенный в предыдушей задаче

№61 Найти общий вид решения уравнения Лапласа для скалярной функции, зависящей только:

а) от , б) от , в) от в ССК.

а)

б)

в)

ЦСК: а)

б)

в)

№63 Показать, что если скалярная функция является решением уровнения , и - некоторый постоянный вектор, то векторные функции , , удовлетворяют уравнению

Решение:

1) (*)

вычислим

Вычислим из выражения (*):

что и т.д.

2)

Вспомним, что

Умножим на

Теперь найдем ,

(**)

- выясним смысл этого выражения

С другой стороны

Следовательно, из (**) уравнения:

.

3)

возьмем :

Дата добавления: 2015-07-17