Уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде

.

Такое уравнение можно представить также в виде:

при

Перейдем к новым обозначениям

Получим:

.

После нахождения соответствующих интегралов получаем общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнение вида будет являться уравнением с разделяющимися переменными, если

.

Тогда после подстановки в исходное уравнение получим:

,

Разделив на произведение функций , получим

,

.

Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С и частное решение.

Пример:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение: , => , =>

.

Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям:

,

или .

Это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, так как искомая функция и не выражена через независимую переменную.

Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.

- верно

Пример:

Найти решение дифференциального уравнения при условии у (2) = 1.

Решение: , => , => , =>

, => ,

при у (2) = 1 получаем .

Тогда частное решение имеет вид: или .

Пример:

Решить уравнение

Решение: => .

Отсуда

Пример:

Решить уравнение при условии у (1) = 0.

Решение:

Интеграл, стоящий в левой части вычислим по частям.

Если у (1) = 0, то

Итого, частное решение: .

Дата добавления: 2015-07-16