Связь поверхностных интегралов первого и второго рода.

Поверхностные интегралы первого и второго рода связаны друг с другом соотношением:

.

В этой формуле cosa, cosb, cosg - направляющие косинусы нормали к поверхности S в выбранную сторону поверхности.

5.2.4. Формула Гаусса – Остроградского.

Формула Гаусса – Остроградского является аналогом формулы Грина – Остроградского. Эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.

Для вывода формулы Гаусса – Остроградского надо воспользоваться рассуждениями, подобными тем, которые использовались при нахождении формулы Грина – Остроградского.

Рассматривается сначала поверхность, ограниченная сверху и снизу некоторыми поверхностями, заданными известными уравнениями, а сбоку– ограниченную цилиндрической поверхностью. Затем рассматривается вариант, когда поверхность ограничена цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными двум другим координатным осям.

После этого полученные результаты обобщаются, приводя к формуле Гаусса – Остроградского:

.

Отметим, что эта формула применима для вычисления поверхностных интегралов по замкнутой поверхности.

На практике формулу Гаусса – Остроградского можно применять для вычисления объема тел, если известна поверхность, ограничивающая это тело.

Имеют место формулы:

.

Дата добавления: 2015-07-16