Криволинейные интегралы первого рода

Рассмотрим в пространсве XYZ кривую АВ, в каждой точке которой определена произвольная функция .

Разобьем кривую на конечное число отрезков и рассмотрим произведение значения функции в каждой точке разбиения на длину соответствующего отрезка .

Сумма всех произведений называется интегральной суммой функции f (x, y, z).

Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой на частичные отрезки существует предел интегральных сумм, независящий от способа кривой на частичные отрезки, то этот предел называется криволинейным интегралом от функции f (x, y, z)по длине дуги АВ или криволинейным интегралом первого рода.

Свойства криволинейного интеграла первого рода

1) Значение криволинейного интеграла по длине дуги не зависит от направления кривой АВ.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла.

3) Криволинейный интеграл от суммы функций равен сумме криволинейных интегралов от этих функций.

4) Если кривая АВ разбита на дуги АС и СВ, то

.

5) Если в точках кривой АВ

,

то

6) Справедливо неравенство:

.

7) Если f (x, y, z) = 1, то

где S – длина дуги кривой, .

8) Теорема о среднем.

Если функция f (x, y, z). непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой существует точка (ξ, η, ζ) такая, что

.

Пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями x = x (t), y = y (t), z = z (t), a £ t £ b, где функции х, у, z – непрерывно дифференцируемые функции параметра t, причем точке А соответствует t = a, а точке В соответствует t = b. Функция f (x, y, z) – непрерывна на всей кривой АВ.

Для любой точки М (х, у, z) кривой длина дуги АМ вычисляется по формуле

,

где – дифференциал дуги.

Длина всей кривой АВ равна:

Криволинейный интеграл по длине дуги АВ будет находиться по формуле:

Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги АВ) надо подинтегральную функцию выразить через параметр t, используя параметрическое уравнение кривой, и заменить ds дифференциалом дуги в зависимости от параметра t и проинтегрировать полученное выражение по t.

Если кривая плоская и задана уравнением, то получаем:

.

Пример:

Вычислить интеграл по одному витку винтовой линии

Решение:

Дата добавления: 2015-07-16