Циркуляция векторного поля

Определение. Криволинейный интеграл, представляющий собой работу векторного поля вдоль некоторой кривой L, называется линейным интеграломот вектора по ориентированной кривой L.

.

Если кривая L представляет собой замкнутый контур, то линейный интеграл по такому контуру называется циркуляцией векторного поля вдоль контура L.

.

В векторной форме теорему Стокса можно сформулировать так:

Теорема: Циркуляция вектора вдоль контура некоторой поверхности равна потоку вихря (ротора) через эту поверхность.

.

Формула Грина – Остроградского является частным случаем формулы Стокса.

Также при условии равенства нулю всех компонент ротора вектора, получаем, что криволинейный интеграл по любой пространственной кривой равен нулю, т.е. криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

Определение. Выражение называется дивергенцией вектора и обозначается

.

Таким образом, формула Гаусса – Остроградского может быть записана в виде:

,

или в векторной форме

,

то есть интеграл от дивергенции векторного поля по объему равен потоку вектора через поверхность, ограниченную этим объемом.

Определение. Векторное поле называется соленоидальным (трубчатым), если div =0.

C помощью описанного выше оператора Гамильтона можно представить определенные нами понятия следующим образом:

Выражение вида:

называется оператором Лапласа.

Справедливы следующие соотношения:

.

Справедливость этих равенств легко проверить непосредственной подстановкой.

Теперь рассмотрим примеры применения рассмотренных выше понятий.

Пример:

Найти , если

Решение: найдем скалярное произведение:

Найдем скалярное произведение:

.

Пример:

Найти поток векторного поля

через сторону треугольника S, вырезанного из плоскости

координатными плоскостями.

Решение: построим заданную плоскость (рис.6.2).

Пример:

Найти div(), если

Решение: ,

Пример:

Определить является ли векторное поле

потенциальным и найти его потенциал.

Решение: ;

Если поле потенциально, то должны выполняться следующие условия:

Эти условия эквивалентны условию равенства нулю ротора векторного поля. Справедливость этого утверждения видна из формулы ротора.

Таким образом, поле потенциальное. Потенциал находится по формуле:

Вопросы для самоподготовки

1. Что называется двойным интегралом от данной функции по данной области?

2. Перечислите свойства двойного интеграла.

3. Как вычисляется двойной интеграл в декартовых координатах?

4. Сформулировать правило замены переменных в двойном интеграле?

5. Как выражается элемент площади в полярных координатах?.

6. Как вычисляется двойной интеграл в полярных координатах?

7. Что называется тройным интегралом от данной функции по данной области?

8. Как вычисляется тройные интегралы в декартовой системе координат?

9. Как вычисляется тройные интегралы в цилиндрических координатах?

10. Как вычисляется тройные интегралы в сферических координатах?

11. Что называется криволинейным интегралом (первого рода) по длине дуги данной линии)?

12. Как вычисляется криволинейный интеграл первого рода?

13. Что называется криволинейным интегралом второго рода(по координатам)?

14. Вычисление криволинейного интеграла второго рода в зависимости от задания линии интегрирования.

15. Сформулировать теорему Грина.

16. Что означает независимость криволинейного интеграла второго рода от линии интегрирования?

17. Дать определение поверхностного интеграла первого рода.

18. Как вычисляются поверхностные интегралы первого рода?

19. Дать определение поверхностного интеграла второго рода.

20. Как вычисляются поверхностные интегралы второго рода?

21. Что называется скалярным полем?

22. Дайте определение поверхности и линии уровня.

23. Что называется производной по направлению?

24. Как вычисляется производная по направлению?

25. Что такое градиент функции (скалярного поля)?

26. Связь производной по направлению и градиента?

27. В каком направлении производная максимальна?

28. Что называется векторным полем?

29. Что называется векторной линией?

30. Что называется потоком вектора через поверхность?

31. Дать определение дивергенции векторного поля?

32. Как найти дивергенцию векторного поля?

33. Дать определение циркуляции векторного поля?

34. Дать определение ротора векторного поля?

35. Сформулируйте теорему Остроградского? Теорему Стокса?

36. Какое поле называется соленоидальным?

37. Какое поле называется потенциальным?

3. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Многие задачи математики, физики, естествознания приводят к дифференциальным уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту или иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.

Например, известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле:

В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V, которая также является производной по времени t от перемещения S. Т.е.

Тогда получаем: - уравнение связывает функцию f (t) с независимой переменной t и производной второго порядка от функции f (t).

Определение. Дифференциальным уравнениемназывается уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции различных порядков.

Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Пример:

- обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В общем виде записывается .

- обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка. В общем виде записывается

- дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка.

Определение. Общим решениемдифференциального уравнения называется функция y = j(x, C), которая является дифференцируемой и при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.

Дата добавления: 2015-07-16