Формула полной вероятности

Пусть имеется урн с разным количеством белых и чёрных шаров. Кто-то наудачу выбирает урну, а затем уже из неё наудачу один шар. Какова вероятность того, что выбранный шар окажется белым?

Событие - выбранному шару оказаться белым происходит совместно с событием «выбор урны».

Событие - искомое,события («выбор -ой урны, где ) – события-гипотезы. Они попарно несовместны. Для поиска вероятности события руководствуются следующей теоремой.

Теорема. Вероятность события , которое может наступить лишь при условии появления одного из попарно несовместных событий -гипотез , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий-гипотез на соответствующую условную вероятность события , т.е.

(*)

Формула (*) называется формулой полной вероятности события .

Рассмотрим примеры применения данной теоремы.

1) Имеются три одинаковые урны. В первой находятся 4 белых и 6 чёрных шаров, во второй – 7 белых и 3 чёрных и в третьей – только чёрные. Наудачу выбирается урна и из неё наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что будет выбран: а)чёрный; б) белый шар?

Решение.

а) Пусть - событие «из урны вынули чёрный шар».

- гипотеза «выбрали первую урну»;

- гипотеза «выбрали вторую урну»;

- гипотеза «выбрали третью урну».

Поскольку , , - равновероятные и образуют полную группу, то .

Тогда - вероятность того, что из первой урны достанут чёрный шар.

- вероятность того, что из второй урны достанут чёрный шар. - вероятность того, что из третьей урны достанут чёрный шар.

Значит, .

- вероятность того, что из наудачу выбранной урны наудачу возьмут чёрный шар.

б) Пусть - событие «из урны вынули белый шар».

- гипотеза «выбрали первую урну»;

- гипотеза «выбрали вторую урну»;

- гипотеза «выбрали третью урну».

.

Тогда - вероятность того, что из первой урны наудачу достанут белый шар.

- вероятность того, что из второй урны наудачу достанут белый шар. - вероятность того, что из третьей урны наудачу достанут белый шар.

Значит, , т.е.

- вероятность того, что из наудачу выбранной урны наудачу возьмут белый шар.

Ответ: а) б) .

2) В первом ящике 20 деталей, из них 15 стандартных, во втором – 30 деталей, из них 24 стандартных, в третьем - 10 деталей, из них 6 стандартных. Содержимое ящиков разместили в шкафу. Найти вероятность того, что наудачу извлечённая из шкафа деталь– стандартная.

Решение.

Пусть - событие «наудачу извлечённая из шкафа деталь – стандартная».

- гипотеза «деталь принадлежит первому ящику»;

- гипотеза «деталь принадлежит второму ящику»;

- гипотеза «деталь принадлежит третьему ящику».

Ящики содержат разное количество деталей, поэтому события , , - не равновероятные.

Общее количество деталей в трёх ящиках – 20+30+10=60. Тогда - вероятность того, что извлечённая деталь принадлежит первому ящику.

Аналогично, , .

Найдём условные вероятности события по предложенным гипотезам.

- вероятность того, что извлечённая из первого ящика деталь - стандартная.

и .

Значит, , т.е.

.

Ответ: 0,75.

3) Студент пришёл на экзамен, зная 25 билетов из 30. Перед ним был взят только один билет. Какова вероятность того, что студент знает наудачу взятый билет?

Решение.

Пусть - событие «студент знает наудачу взятый билет экзамена».

- гипотеза «перед студентом взяли выученный им билет»;

- гипотеза «перед студентом взяли невыученный им билет».

, . Тогда

- вероятность того, что студенту попадётся «хороший» билет, после того как до него взяли «хороший» (выученный) билет.

- вероятность того, что студенту попадётся «хороший» билет, после того как до него взяли «плохой» (невыученный) билет.

Значит,

, т.е. .

Ответ: .

Дата добавления: 2015-07-16