Необходимые теоретические сведения. Пусть дана функция , определённая на множестве (т.е

Пусть дана функция , определённая на множестве (т.е. - некоторое множество точек координатной плоскости ХОУ).

Определение 1. Точка называется точкой (строгого) максимума минимума функции , если существует проколотая окрестность этой точки такая, что для всех точек выполняется неравенство .

Другими словами, в точке (строгого) максимума [минимума] функция принимает значение большее [меньшее], чем во всех точках , не совпадающих с точкой и достаточно близких к точке .

Определение 2. Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом минимумом функции .

Определение 3. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума, а максимумы и минимумы – экстремумами функции .

		рис. 2
		рис. 1

Аналогично определяется экстремум функций с большим числом переменных.

Функция многих переменных может иметь экстремум только в точках, лежащих внутри области определения функции, в которых её частные производные первого порядка равны нулю или не существуют. Такие точки называют критическими точками функции. Те из них, в которых частные производные первого порядка от данной функции равны нулю, называются стационарными.

Общий подход в исследовании критической точки на наличие в ней экстремума функции заключается в следующем: критическая точка будет точкой экстремума функции , если для всех точек приращение функции не изменяет знака. При этом если сохраняет положительный знак, то есть точка минимума, а если сохраняет отрицательный знак, то есть точка максимума функции.

В частности, если - стационарная точка функции (т.е. ), то выяснить, является ли она точкой экстремума, можно с помощью следующей теоремы.

Теорема (достаточные условия экстремума). Пусть функция определена в некоторой окрестности стационарной точки , при этом имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка. И пусть

, .

Тогда, если:

1) >0, то - точка экстремума функции , причём при >0 - точка минимума, а при <0 – точка максимума;

2) <0, то в точке функция не имеет экстремума;

3) =0 – вопрос о наличии экстремума остаётся открытым.

Замечания. 1. Функция называется непрерывной в точке , если .

2. Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки , т.е. . Число называется пределом функции при (т.е. при , если для любого числа найдётся такое число (зависящее от ), что для всех точек , для которых расстояние до точки меньше (т.е. таких, что ), выполняется неравенство . При этом пишут .

Подробнее с понятиями «предел функций многих переменных», «непрерывность функций многих переменных» можно ознакомиться в учебниках (1, с.286-287), (2, с.402-403), (7, с. 278-284).

Таким образом, получаем следующий

Алгоритм исследования функции на экстремум

1. Найти область определения функции .

2. Найти критические точки функции .

3. Исследовать стационарные точки функции с помощью достаточных условий экстремума, а критические точки, не являющиеся стационарными, - руководствуясь общим подходом (см. с. 6).

4. Найти экстремумы функции, если таковые имеются.

Примеры. Исследовать на экстремум функции

а) .

Решение.

1. , т. е. - множество всех точек координатной плоскости ХОУ.

2. .

, существуют при всех .

Найдём стационарные точки функции, для этого составим и решим систему

Имеем

- внутренняя точка , значит, она является стационарной для данной функции. Выясним, руководствуясь достаточными условиями экстремума, имеет ли функция в ней экстремум.

3. Поскольку - константы, то они непрерывны в любой точке из . При этом

=0, и т.е. <0, значит, в точке функция не имеет экстремума.

Ответ: экстремума нет.

Замечание 3. В дальнейшем непрерывность частных производных второго порядка обосновывать не будем, поскольку в предлагаемых к рассмотрению функциях она, заведомо, имеет место.

б) .

Решение.

1. .

2.

, существуют при всех .

Найдём стационарные точки функции, для этого составим и решим систему

Имеем Значит, (0;0) – стационарная точка данной функции.

3. тогда

и Значит, требуется дополнительное исследование.

Поскольку и для всех точек (x;y) (0;0) выполняется неравенство , то (0;0) – точка минимума данной функции.

4. - минимум функции.

Ответ: .

в) .

Решение.

ХОУ, включая ось ОХ.

у

1. , т.е. - верхняя полуплоскость плоскости

2.

, существуют при всех .

Найдём стационарные точки функции, для этого составим и решим систему

Имеем

Получили точки (1;0) и (-1;0). Они лежат на границе области определения, следовательно, не являются критическими, а значит, данная функция не имеет экстремумов.

Ответ: экстремума нет.

г) .

Решение.

1. .

2.

, существуют при всех .

Найдём стационарные точки функции, для этого составим и решим систему

Имеем

Данная система равносильна следующей совокупности систем

или

или

или

Значит, (0;0), (1;0), (0;1), (1/3;1/3) – стационарные точки функции. Выясним, являются ли они точками экстремума для данной функции.

3.

Значит, в точке (0;0) функция не имеет экстремума.

Значит, в точке (1;0) функция не имеет экстремума.

Значит, в точке (0;1) функция не имеет экстремума.

Значит, в точке (1/3;1/3) функция имеет экстремум, причём (1/3;1/3) – точка максимума, т.к. .

4.

Ответ:

е) .

Решение.

1. .

2. ;

.

и не существуют при и соответственно. Значит, - критическая точка функции, т.к. она лежит внутри , и в ней частные производные первого порядка не существуют.

при всех , значит, функция не имеет стационарных точек, и теорема о достаточных условиях экстремума не выполняется.

Выясним, руководствуясь общим подходом, является ли точка точкой экстремума данной функции.

3. .

Исследуем знак разности вблизи точки , где - произвольная точка из .

.

Имеем для всех точек . Значит, - точка максимума.

4.

Ответ:

Дата добавления: 2015-07-16