Задания для самоконтроля. Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

Найти точки условного экстремума функции, используя метод множителей Лагранжа.

а) при ;

б) при ;

в) при ;

г) при .

Ответы: а) - точка условного минимума;

б) - точка условного минимума, - точка условного максимума;

в) - точка условного минимума, - точка условного максимума.

г) - точки условного максимума, - точки условного минимума.

Раздел 7. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений

(Элементы теории дифференциальных уравнений)

Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется равенство, содержащее независимую переменную , неизвестную функцию и её производные , т.е. имеющее вид

, (1)

где - функция действительных переменных , принимающая также действительные значения.

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок производной, который встречается в уравнении.

Так,

- дифференциальное уравнение второго порядка,

- дифференциальное уравнение первого порядка,

- дифференциальное уравнение первого порядка (),

(1) – общий вид дифференциального уравнения n-ого порядка. Дифференциа-льное уравнение 1 – ого порядка в общем виде запишется так: .

Например, - дифференциальное уравнение первого порядка, где .

Определение 3. Решением дифференциального уравнения называется функция , обращающая при подстановке это уравнение в тождество.

Например, для уравнения функция является решением, т.к. .

Определение 5. Общим решением дифференциального уравнения ого порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее независимых произвольных постоянных, т.е. имеющее вид

,

где - независимые произвольные постоянные.

Пример 1. (*)

Решение.

- общее решение уравнения (*).

Определение 6. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения подстановкой вместо произвольных постоянных определённых чисел.

Так, - частное решение уравнения (*), где .

Определение 7. Общим интегралом дифференциального уравнения является его общее решение, выраженное в виде неявной функции.

Общий интеграл дифференциального уравнения n – ого порядка задаётся соотношением .

Например, - общий интеграл уравнения (*). Его можно записать также в виде , где . Это объясняется тем, что из произвольности констант и следует произвольность констант и , для которых можно ввести новые обозначения, например, и соответственно.

Общий интеграл дифференциального уравнения 1 – ого порядка задаётся соотношением или .

Пример 2. . (**)

Решение.

,

- общее решение уравнения (**),

или - общий интеграл уравнения (**).

Задание 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде =С).

Дата добавления: 2015-07-16