На замкнутой области

1. Построить замкнутую область и определить её границу.

2. Найти критические точки функции внутри замкнутой области и вычислить значения функции в них.

3. Найти критические точки функции на границе замкнутой области и вычислить значения функции в них.

4. Найти значения функции в точках пересечения участков границы области (или на концах отрезков на границе области).

5. Выбрать из найденных значений функции наибольшее и наименьшее.

Примеры.

, область – треугольник, ограниченный прямыми .

Решение.

1. Построим замкнутую область и выделим её границу.

Область D – заштрихо- ванный треугольник. Граница замкнутой облас- ти D: а) ; б) ; в) .

рис.3

2. Найдём критические точки функции внутри замкнутой области и вычислим значения функции в них.

- критическая (стационарная) точка функции, однако , т.е. внутри области нет критических точек.

3. Найдём критические точки функции на границе замкнутой области и вычислим значения функции в них.

а) , тогда ,

.

,

.

Значит, на указанном участке границы функция не имеет критических точек.

б) , тогда .

.

Значит, - критическая (стационарная) точка функции ;

.

в) , тогда

,

.

Значит, - критическая (стационарная) точка функции

где ; = .

4. Найдём значения функции в точках .

.

Таким образом, .

Ответ: .

область – круг .

Решение.

1. Построим замкнутую область и выделим её границу.

		Область D – круг. Граница области D – окружность , т.е. . Она представима в виде двух дуг .
		рис.4

2. Найдём критические точки функции внутри замкнутой области и вычислим значения функции в них.

Рассмотрим систему

, значит, внутри замкнутой области функция не имеет критических точек.

3. Найдём критические точки функции на границе замкнутой области и

вычислим значения функции в них.

Граница области (окружность) представима в виде двух дуг:

.

а) , тогда .

не существует при , а т.к. не являются внутренними точками отрезка , то они не являются критическими точками функции на отрезке .

,

;

- критическая (стационарная) точка функции

где ; .

б) , тогда .

Аналогично, не являются критическими точками функции на отрезке .

- критическая (стационарная) точка функции

где ;

Заметим, что , где - значение функции в точке .

4. Найдём значения функции в точках (-5;0) и (5;0).

Значит,

Ответ:

.

Решение.

Граница области D – окружность . Это каноническое уравнение окружности.

1. Построим замкнутую область и выделим её границу.

{ Справка: - каноническое уравнение окружности с центром в точке ( радиуса . Указанную окружность можно описать и параметрическими уравнениями вида:

}

Таким образом, параметрические уравнения данной окружности имеют вид:

2. Найдём критические точки функции внутри области и вычислим значения функции в них.

критическая точка функции.

Однако, , т.е. внутри области функция не имеет критических точек.

3. Найдём критические точки функции на границе области и вычислим значения функции в них.

рис.6

Поскольку , то - критические точки функции на границе области.

4. Найдём значения функции на концах отрезка на границе области.

Значит,

Ответ:

Дата добавления: 2015-07-16