|
Читайте также: |
Существуют разные виды дифференциальных уравнений, для каждого из которых применяется свой метод решения.
Прежде, чем решать дифференциальное уравнение, необходимо выяснить, к какому виду оно относится. Рассмотрим решение двух видов дифференциальных уравнений 1-го порядка, а именно уравнений с разделяющимися переменными и линейных уравнений.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Определение 1. Уравнение вида (или которое можно привести к виду) 
, (1)
где 
- непрерывные функции от аргументов 
, 
соответственно, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
В таком уравнении переменные можно отделить друг от друга.
Поскольку 
, тогда (1) примет вид 
.
Умножим обе части полученного равенства на 
. Получим уравнение
(2)
(2) – дифференциальная форма уравнения (1).
Разделим (2) на 
, полагая, что 
. Тогда
Проинтегрируем обе части полученного равенства:
.
Выполняя интегрирование, найдём решение исходного уравнения (его общий интеграл).
Замечание. Если 
то решение уравнения 
теряется при делении уравнения (2) на 
. В дальнейшем решения вида , где 
, мы рассматривать не будем.
Примеры. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
а) 
.
Решение.
Данное уравнение можно записать иначе, как: 
,
т.е. это уравнение вида (1), где 
. Тогда
.
Преобразуем полученное равенство так, чтобы дифференциал и функция переменной были в левой части уравнения, а переменной - в правой. Для этого умножим обе части уравнения на , а затем разделим на 
, где 
для любого 
.
,
.
Поскольку 
- произвольная постоянная, тогда произведение числа 
на также будет являться произвольной постоянной, которую можно обозначить, например, как 
,т.е. 
. Тогда общий интеграл данного уравнения будет иметь вид
.
Ответ: .
б) 
.
Решение.
Приведём уравнение к виду (1):
,
, тогда
.
Отделим переменные друг от друга аналогично тому, как мы это выполнили в примере а):
,
,
, 
,
,отсюда
.
Поскольку 
(произвольное число), тогда 
, обозначим эти числа символом 
. Тогда
- общий интеграл данного уравнения.
Ответ: .
Уравнение с разделяющимися переменными может также иметь вид
, (2)
где 
- некоторые непрерывные функции переменной , причём 
, 
- некоторые непрерывные функции переменной , причём 
. В таком уравнении переменные разделяются путём деления его на 
:
Тогда 
-
- общий интеграл уравнения (2).
Примеры. Решить уравнения.
a) 
.
Решение.
Данное уравнение равносильно уравнению
.
Получили уравнение вида (2), где 
. Разделим его на 
.
,
проинтегрируем полученное равенство:
.
Заметим, что
. Тогда
,
- общий интеграл данного уравнения. Здесь 
.
Ответ: 
.
Замечание. Условимся, что в дальнейшем при вычислении интегралов в левой части уравнения константы писать не будем, полагая, что они будут учтены в правой части уравнения.
б) 
,
,
,
Значит,
,
,
,
.
Пусть 
,
тогда 
- общий интеграл уравнения.
Ответ: 
.
Перейдём к рассмотрению следующего вида дифференциальных уравнений.
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Определение 2. Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется дифференциальное уравнение 1-го порядка, которое линейно относительно функции и её производной, т.е. имеет вид
, (3)
где 
- непрерывные функции от , причём 
Если 
, то (3) – линейное однородное уравнение 1-го порядка, оно одновременно является и уравнением с разделяющимися переменными.
Если 
, то (3) - линейное неоднородное уравнение 1-го порядка.
Решение уравнения (3) ищется в виде 
(или коротко 
) следующим образом.
Пусть 
, 
. Значит, уравнение (3) примет вид
,
.
Подберём 
так, чтобы 
. Получим два уравнения.
а 
;
- это однородное уравнение,
б 
- частное решение уравнения а. Тогда
найдём его частное ненулевое решение (полагаем С=0).
,
,
,
,
- частное решение
- уравнение с
разделяющимися переменными;
;
;
- общее решение уравнения б.
уравнения а.
Тогда - общее решение уравнения (3), где 
- решения уравнений б и а соответственно.
Примеры. Найти общее решение дифференциального уравнения.
1) 
.
Решение.
Данное уравнение является линейным, так как оно имеет вид , где 
, 
, 
.
, тогда . Имеем
,
,
а 
,
,
,
,
,
,
,
- частное
решение уравнения а.
б 
,
, где ,
,
,
,
.
,
- общее решение
уравнения б.
Так как , тогда 
,т.е. 
- общее решение данного уравнения.
Ответ: .
2) 
.
Решение.
- линейное уравнение, так как оно имеет вид , где 
, .
Пусть . Тогда
,
,
а 
,
,
,
б 
;
;
;
.
,
,
,
- частное решение
уравнения а.
Заметим, что 
.
Тогда , т.е. 
- искомое решение данного уравнения.
Ответ: .
3) 
.
Решение.
Данное уравнение является линейным, так как оно имеет вид , где 
, 
, 
.
Пусть . Тогда уравнение примет вид
,
,
а 
,
,
,
,
,
,
,
- частное
решение уравнения а.
б 
,
,
,
,
,
,
,
Поскольку , значит, 
- общее решение данного уравнения.
Ответ: .
4) 
.
Решение.
Запишем данное уравнение иначе, как 
. Таким образом, мы имеем линейное уравнение, где 
, 
, 
.
Пусть . Тогда 
,
,
а 
,
,
,
,
,
- частное
решение уравнения а.
б 
,
,
.
{Полученный интеграл вычислим с помощью метода интегрирования по частям: 
.
|
|
=
= 
.
Итак, 
, т.е.
- общее решение уравнения.
Ответ: .
5) 
.
Решение.
В области, где , данное уравнение равносильно уравнению 
, т.е. 
. Полученное уравнение является линейным, при этом 
, 
, .
Пусть , тогда 
,
,
а 
,
,
,
,
,
,
,
-частное
решение уравнения а.
б 
,
,
,
,
.
Итак, 
, 
- общее решение данного уравнения.
Ответ: .
Замечание. В уравнении (5) 
является также его решением, т.к. (5) можно записать в дифференциальной форме: 
. Если , то 
. И при подстановке в дифференциальную форму вместо и нуля получаем верное равенство 
, 0=0. Решение 
не входит в состав общего решения, в дальнейшем мы такие решения рассматривать не будем.
Дифференциальные уравнения имеют геометрические, физические и др. применения. Рассмотрим некоторые из них.
Задача 1. Найти кривую, проходящую через точку А(0;1) и обладающую тем свойством, что в каждой её точке угловой коэффициент касательной равен удвоенной абсциссе точке касания.
Решение.
 | |||||
| |||||
| |||||
Поскольку искомая кривая проходит через точку А(0;1), то у(0)=1.
Получаем систему условий: 
Рассмотрим уравнение (1):
,
- общее решение уравнения (1).
Найдём частное решение уравнения (1), удовлетворяющее условию (2).
Значит, 
- искомая кривая.
Ответ: .
Задача 2. Скорость размножениябактерий в питательной среде пропорциональна их наличному количеству. Найти закон (
) размножения бактерий, предполагая, что в биологическую среду было помещено 500 бактерий, и через 4 ч их число увеличилось в 3 раза.
Решение.
Пусть - количество бактерий в момент времени 
. Тогда скорость размножения бактерий в момент времени есть производная данной функции по времени, т.е. 
и по условию задачи 
, где 
- коэффициент пропорциональности. Вместе с тем, 
- число бактерий в начальный момент времени, т. е. при 
.
Имеем систему 
Таким образом, нам необходимо решить задачу об отыскании решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию (2).
Решим уравнение (1): ; 
;
;
;
;
, т.е. 
.
Значит, 
- общее решение уравнения (1). Найдём частное решение уравнения (1), удовлетворяющее условию (2):
, т.е. 
и 
.
Для того чтобы найти , воспользуемся условием задачи - через 4 ч число бактерий увеличилось в 3 раза. Получаем 
, т.е.
;
;
;
.
Следовательно, 
- искомый закон размножения бактерий.
Ответ: .
Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 39 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Задания для самоконтроля | | | Раздел 8. Вероятность и статистика |
- искомая кривая, М(х;у) – произвольная точка кривой, 
угол, образо-ванный касательной МТ с положительным направлением оси Ох, и 
- угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой 
, а так как по условию задачи 
, тогда получаем дифференциальное уравнение 
.