Раздел 8. Вероятность и статистика

Теория вероятностей представляет собой раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений. Он зародился в 17 веке из анализа азартных игр, стрельбы, страхового дела, взвешивания. В настоящее время теория вероятностей используется при планировании и организации производства, организации технологических процессов, в теоретической физике, а также в военном деле, экономике, теории массового обслуживания.

Параллельно с теорией вероятностей развивалась и математическая статистика – раздел математики, также зародившийся в 17 веке, который занимается разработкой научно обоснованных методов сбора статистических данных и их обработки. Математическая статистика опирается на теорию вероятностей, поскольку также изучает случайные явления, но решает, в некотором смысле, обратные ей задачи. Если теория вероятностей исследует явления, заданные полностью их моделью и выявляет ещё до опыта те статистические закономерности, которые будут иметь место после его проведения, то в математической статистике вероятностная модель явления определена с точностью до неизвестных параметров, которые и выясняются с помощью «пробных» испытаний. Математическая статистика активно применяется в экономике, в научных исследованиях, её рассматривают как науку о принятии решений в условиях неопределённости.

Одним из основных понятий теории вероятностей и математической статистики является понятие события.

Определение 1. Событие – результат (исход) некоторого испытания (опыта, эксперимента, наблюдения).

Например,

а) стрелок стреляет по мишени, разделённой на 4 области.

Выстрел – это испытание, попадание в определённую область мишени – это событие.

б) В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар.

Извлечение шара из урны - это испытание, появление шара определённого цвета - это событие.

События обозначаются большими латинскими буквами А, В, С,…

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых случайных событий, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий.

Случайные события могут быть разных видов. Рассмотрим некоторые из них.

Определение 2. Несовместные события – случайные события, которые не могут появиться в одном испытании одновременно.

Например, брошена монета, появление «герба» исключает появление «надписи», события «появился герб» и «появилась надпись» - несовместные.

Определение 3. Полная группа событий – несколько случайных событий, для которых выполняется условие: в результате испытания происходит хотя бы одно из них, т.е. появление хотя бы одного из них в ходе испытания – достоверное событие.

Если имеется полная группа попарно несовместных событий, то в ходе испытания происходит только одно из них.

Например,

а) при составлении прогноза вида осадков на апрель – май полную группу событий составят события:

- «выпадет дождь»;

- «выпадет снег»;

- «выпадет град»;

- «отсутствие осадков»;

б) при двух выстрелах по мишени полную группу попарно несовместных событий составляют события: «два промаха», «два попадания», «один промах и одно попадание»;

в) при бросании игральной кости полную группу попарно несовместных событий составляют события:

- «выпало 1 очко»;

- «выпало 2 очка»;

- «выпало 3 очка»;

- «выпало 4 очка»;

- «выпало 5 очков»;

- «выпало 6 очков».

Определение 4. События называются равновероятными (равновозмож-

ными), если в появлении одного из них нет преимуществ перед другими.

Например, появление того или иного числа очков при подбрасывании кости – равновероятные события.

Центральным понятием теории вероятностей является понятие вероятности.

Определение 5. Вероятность – это число, характеризующее степень возможности появления события.

Условимся различать составные (разложимые) события и элементарные (неразложимые) события. Например, событие B – «при бросании двух игральных костей сумма выпавших очков равна 5» означает, что в результате испытания мог быть получен один из следующих исходов: (1.4) – на первой кости выпало 1 очко, а на второй – 4, а также аналогично имеют место исходы (2.3), (3.2), (4.1). То есть событие B разлагается на 4 элементарных события и является составным.

Заметим, что любое составное событие – это совокупность элементарных событий, каждое из которых соответствует одному и только одному неразложимому исходу испытания.

Рассмотрим классическое определение вероятности события, используя для его иллюстрации следующий пример.

Пример. В урне имеется 6 одинаковых тщательно перемешанных шаров, при этом 2 из них – красные, 3 – синие, 1 – белый. Дать количественную оценку того, что наудачу взятый шар – цветной.

Решение.

Пусть А – событие, состоящее в появлении цветного шара.

Каждый результат испытания (извлечение шара) – элементарное событие. Поскольку в урне 6 шаров, и в ходе испытания мы можем вытащить любой из них, то данному испытанию соответствуют 6 элементарных событий:

- «появился белый шар»;

- «появился красный шар»;

- «появился синий шар».

Эти события попарно несовместны, равновозможны и составляют полную группу.

Таким образом, событию А благоприятствуют следующие элементарные события: , , т.е. событие А наступит, если произойдёт либо , либо , либо , либо , либо .

Определение 6 (классическое определение вероятности). Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных событий (исходов) к общему числу всех равновозможных попарно несовместных элементарных событий, образующих полную группу, называется вероятностью события А и обозначается , т.е.

, где

- число благоприятствующих элементарных исходов испытания,

- общее число равновозможных попарно несовместных образующих полную группу элементарных исходов испытания.

В данном примере .

Свойства вероятности:

1. , если - достоверное событие;

2. , если - невозможное событие;

3. , если - случайное событие;

4. , где - элементарное событие (, благоприятствующее событию .

Следствие: , если - произвольное событие.

Таким образом, вероятность события – это число, принадлежащее отрезку .

Примеры.

1) В урне 12 шаров: 3 белых, 4 чёрных и 5 красных. Какова вероятность вынуть из урны чёрный шар?

Решение.

Обозначим через - событие, состоящее в том, что из урны вынули чёрный шар.

Поскольку необходимо найти вероятность появления чёрного шара, а всего чёрных шаров 4, то - число благоприятствующих элементарных исходов испытания.

Поскольку в урне 12 шаров и можно вынуть любой из них, то - общее число всех исходов испытания. Воспользуемся классическим определением вероятности события, тогда .

Ответ: .

2) В колоде 36 карт. Наудачу вынимают из колоды 2 карты. Определите вероятность того, что вторым вынут туз, если первым тоже вынут туз.

Решение.

Пусть - событие, состоящее в том, что вторым из колоды вынут туз, если первым был вынут туз.

Всего в колоде 36 карт. Поскольку из неё вынут один туз, то в ней осталось 3 туза, каждый из которых может быть вынут в ходе испытания, поэтому - число благоприятствующих событию исходов испытания.

Так как из колоды уже вынули одну карту, то в ней осталось 35 карт, каждая из которых может быть вынута в ходе испытания, тогда - общее число всех элементарных исходов испытания.

Значит,

Ответ: .

Определение 7. Суммой событий А и В называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий, т.е. или события А, или события В, или обоих событий А и В.

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Пример. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1, 9 очков – 0,3, 8 или меньше очков – 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.

Решение.

Заметим, что слова «не менее 9» означают 9 или более, в данном случае - 9 или 10.

Пусть - событие, состоящее в том, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков;

- событие, состоящее в том, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков;

- событие, состоящее в том, стрелок при одном выстреле выбьет 9 очков.

Тогда , где и - несовместные. Значит, .

Ответ:0,4.

Определение 8. Произведением событий А и В называется событие, состоящее в одновременном появлении этих событий.

Определение 9. Если вероятность события не зависит от того, происходит ли оно до события , или после него, то и называются независимыми событиями. В противном случае, и - зависимые события.

Например, «появление герба на белой монете при одном подбрасывании монеты» и «появление герба на жёлтой монете при одном подбрасывании монеты» – независимые события, а события «появление герба при одном подбрасывании монеты» и «появление надписи при одном подбрасывании монеты» - зависимые, т.к. появление одного из них обращает в нуль вероятность появления другого.

Теорема 2. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е. , если и - независимые события.

Пример. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,8. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий оба стандартные.

Решение.

Введём в рассмотрение события , , , означающие следующее:

- «оба изделия стандартные»,

- «первое изделие – стандартное», - «второе изделие – стандартное». Тогда событие можно записать в виде: .

Так как события и - независимые, то найдём вероятность события , руководствуясь теоремой 2:

Ответ:0,64.

Определение 10. Вероятность события А, вычисленная при условии, что до него имело место событие В, называется условной вероятностью события и обозначается или .

Теорема 3. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило, т.е. .

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причём вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились, т.е.

.

Пример. В лотерее 1000 билетов. Из них 500 – выигрышные, 500 – невыигрышные. Куплено 2 билета. Какова вероятность, что оба билета выигрышные?

Решение.

Пусть - событие «оба билета – выигрышные», - событие «первый билет - выигрышный», - событие «второй билет – выигрышный».

Тогда , причём и - зависимые события, т.к. вероятность события зависит от того, произошло до него событие или нет (если произошло, то вероятность события будет меньше, нежели в случае, если не произошло).

Значит, .

. Отсюда .

Ответ: .

Во многих задачах на классическую вероятность часто для подсчёта этой вероятности используют формулы комбинаторики, которые позволяют ускорить процесс подсчёта чисел и .

Дата добавления: 2015-07-16