Частотно-временная локализация ВП

Это свойство обусловлено тем, что элементы базиса ВП хорошо локализованы и обладают подвижным частотно-временным окном. Есть прямая связь между временным и частотным представлением вейвлетов. Так малые значения параметра а, характеризующие быстрые составляющие в сигналах, соответствуют высоким частотам, а большие значения (соответствующие медленным изменениям сигнала) – низким частотам. Таким образом, за счёт изменения масштаба вейвлеты способны выявлять различия на разных частотах, а за счёт сдвига (параметр b) проанализировать свойства сигнала в разных точках на всём исследуемом временном интервале. Поэтому при анализе нестационарных сигналов (звуковых сигналов, сигналов изображения и т.д.) за счёт свойства локальности вейвлет-преобразование получает преимущество перед преобразованием Фурье, которое даёт только глобальные сведения о частотах анализируемого сигнала. Это объясняется тем, что ПФ использует базисную систему гармонических функций, которая определена на бесконечном интервале.

Каковы параметры частотно-временного окна ВП?

Для нетривиального вейвлета его центр и радиус определяются формулами:

Тогда ВП даёт локальную информацию об аналоговом сигнале с временным окном

Это окно сужается при малых значениях а и расширяется при больших а.

Рассмотрим затем

где – фурье-образ материнского вейвлета

Предположим, что центр и радиус фурье-образа равны соответственно и Тогда, положив

мы имеем функцию-окно с центром в нуле и радиусом, равным

Воспользовавшись равенством Парсеваля мы можем с учётом и записать вейвлет преобразование в виде

Ясно, что функция-окно имеет радиус, равный Если отвлечься от множителя и линейного сдвига по фазе то очевидно, что ВП даёт и о спектре локализованную информацию с «частотным окном»

Рис. 1.14.7. Частотно-временные окна,

Частотная локализация происходит около центра окна с шириной окна Заметим, что отношение центральной частоты к ширине окна,

не зависит от местоположения центральной частоты, а частотно-временное окно

имеющее площадь сужается при высокой центральной частоте и расширяется при низкой.

Важно, что частотно-временное окно сужается (по переменной ) при больших частотных центрах и расширяется при малых частотных центрах (см. рис. 14.7); в то же время площадь частотно-временного окна остаётся постоянной, равной Это как раз наиболее желательно при частотно-временном анализе.

Вейвлет-ряды

Непрерывное вейвлет-преобразование обладает большой избыточностью, что ведёт к неоправданно большим затратам времени на его вычисление. Поэтому для практического его применения необходима дискретизация параметров а и b при сохранении возможности восстановления сигнала из его преобразования. Наиболее распространена так называемая диадная дискретизация, при которой

где m и k – целые числа. В результате плоскость ab превращается в соответствующую сетку mk. Параметр m называется параметром масштаба. Выбор гарантирует, что растянутые вейвлеты на уровне m «покрывают» ось времени также, как и исходные вейвлеты на уровне

Прямое и обратное диадное ВП записываются в виде

По аналогии с преобразованием Фурье коэффициенты можно выразить через непрерывное ВП

Из следует, что сигнал может быть представлен суммой «вейвлетных волн» с коэффициентами Формально обобщённый ряд Фурье отличается тем, что суммирование проводится не по одному, а по двум индексам. Рассмотрим простой, но очень важный случай, когда порождающим элементом базиса служит вейвлет Хаара (рис. 1.14.8).

t

t

t

t

Рис. 1.14.8. Ортогональные вейвлеты Хаара

Нетрудно убедиться, что базисная система вейвлетов Хаара является ортонормированной, т. е.

Вейвлет-спектр действительного сигнала можно представить себе как «лес» из вертикальных отрезков, размещённых над mk -плоскостью в точках с целочисленными координатами. При этом координата m указывает на скорость изменения сигнала, а координата k – на положение вдоль оси времени.

Дата добавления: 2015-11-16