Примеры материнских вейвлетов

Наиболее распространённые вещественные базисы конструируются на основе производных гауссовой функции –безразмерное время, например Это объясняется тем, что функция Гаусса имеет наилучшую локализацию как во временной, так и в частотной областях (частота ). Здесь уместно вспомнить процедуру нахождения спектра колокольного импульса (1.8.29).

На рис. 1.14.1–1.14.6 приведены основные материнские вейвлеты (слева) и модули их спектральных плотностей (справа).

Рис. 1.14.1. WAVE-вейвлет или гауссов вейвлет первого порядка и модуль его спектральной функции

Рис. 1.14.2. MHAT-вейвлет (мексиканская шляпа) или гауссов вейвлет второго порядка и модуль его спектральной функции

У MHAT-вейвлета нулевой и первый моменты равны нулю. Он имеет лучшее разрешение, чем WAVE-вейвлет. Хорошо видно, что данный вейвлет напоминает затухающее синусоидальное колебание с некоторой «средней частотой». При этом нетрудно убедиться, что если вейвлет сужается вдвое, то его средняя частота и ширина спектра возрастают также вдвое.

Гауссов вейвлет n- го порядка:

Вейвлеты n- го порядка позволяют анализировать более тонкую (высокочастотную) структуру сигнала подавляя медленно изменяющиеся его компоненты.

Рис. 1.14.3. DOG-вейвлет (difference of gaussians) и модуль его спектра

Рис. 1.14.4. LP-вейвлет (Littlewood & Paley) и его спектр

Если исследуемый сигнал существует на отрезке временной оси, то удобно перейти к безразмерному времени При такой замене аргумент сигнала будет находиться в пределах отрезка

Рассмотрим теперь вейвлет Хаара. Эта функция существует на отрезке и принимает одно из трёх значений:

Его спектральная функция аргумента имеет вид:

Обе функции показаны на рис. 1.14.5.

Рис. 1.14.5. HAAR-вейвлет и модуль его спектра

Рис. 1.14.6. FHAT-вейвлет (французская шляпа) и модуль его спектра

FHAT-вейвлет (рис. 1.14.6 слева) задаётся формулой

и имеет спектральную плотность

Эта функция изображена по модулю на рис. 1.14.6 справа.

Вейвлет Хаара и WHAT-вейвлет являются разрывными функциями, вследствие чего возникает бесконечное чередование «лепестков» в частотной области, хотя и убывающих как

LP-вейвлет, наоборот, имеет резкие границы в

Непрерывные вейвлеты позволяют построить на их основе полные аналоги преобразований Фурье и Лапласа.

Вейвлет-преобразование (ВП)

Сконструируем базис функционального пространства с помощью непрерывных масштабных преобразований и сдвигов (b) материнского вейвлета:

Запишем интегральное вейвлет преобразование сигнала

которое по смыслу соответствует преобразованию Фурье с той разницей, что здесь ядром преобразования является вейвлет вместо функции

С учётом ограниченной области R определения сигналов и

Вейвлет-спектр (масштабно-временной спектр) в отличие от фурье-спектра является функцией двух аргументов: первый аргумент а (временной масштаб) обратен частоте, а второй b – аналогичен смещению сигнала во времени. При этом параметры а и b могут принимать любые значения в пределах указанных выше областей их определения.

Следует отметить, что характеризует временную зависимость (при тогда как – частотную зависимость (при

Если исследуемый сигнал представляет собой некоторый одиночный импульс, сосредоточенный в окрестности точки и имеющий длительность то его вейвлет-преобразование будет принимать наибольшее значение в окрестности точки с координатами на плоскости

Обратное вейвлет-преобразование записывается с помощью того же базиса, что и прямое [37]:

где

– нормирующий коэффициент, аналогичный коэффициенту в обратном преобразовании Фурье, фурье-преобразование материнского вейвлета Для ортонормированных вейвлетов

Условие конечности константы ограничивает класс функций которые могут быть использованы в качестве базисных вейвлетов. В частности, очевидно, что фурье-образ должен быть равен нулю при Следовательно должен быть равен нулю по крайней мере нулевой момент, т. е.

Дата добавления: 2015-11-16