Решение задания 10.

Посредством последовательных элементарных преобразований над данной матрицей получим следующую систему эквивалентных матриц:

~ ~

~ ~ ~

~ ~ ~

~ ~ .

Следовательно, ранг данной матрицы равен трем.

Ответ: r(A) = 3.

4. Матричная запись систем линейных уравнений. Обратная матрица

Первоначально матрицы были введены для упрощения записи систем линейных уравнений. Это и обусловило определение основных матричных операций.

Пусть дана система т линейных уравнений с n неизвестными.

(1)

В матричной форме:

(2)

|| || ||

А ∙ Х = В

А – матрица системы;

Х – матрица неизвестных;

В – матрица свободных членов.

Получим сокращенную запись системы:

(3)

Будем рассматривать систему n -линейных уравнений с n неизвестными. В этом случае А – квадратная матрица размера . Если эта матрица невырожденная, то ее ранг равен n.

Введем понятие обратной матрицы.

В алгебре два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными.

.

Имеет место некоторая аналогия и для матричной алгебры.

Определение.

Две квадратные матрицы, произведение которых равно единичной матрице, называются взаимно обратными.

Обозначение .

По определению

.

Теперь, используя обратную матрицу, решим матричное уравнение (3). Для этого умножим обе части (3) на .

;

;

. (4)

Это и есть матричное решение системы уравнений.

Значит решение системы сводится к отысканию обратной матрицы и ее умножению на матрицу свободных членов.

Теорема (существования и единственности обратной матрицы).

Если А – квадратная невырожденная матрица, т.е. , то для нее существует единственная обратная матрица .

Доказательство.

Будем рассматривать для простоты матрицу .

.

1. Запишем для А транспонированную матрицу

.

2. Запишем в каждый элемент дополнением. Получим так называемую союзную (присоединенную) матрицу.

.

3. Вычислим произведение .

∆  

∆  

∆

где .

Аналогично проверим и другое произведение

.

Итак, имеем

,

откуда, т.к. ,

.

Сравнивая это равенство с определением обратной матрицы, можем сказать, что

.

Мы доказали существование обратной матрицы при условии, что . Покажем ее единственность.

От противного:

Предположим, что существуют две различные обратные матрицы для матрицы А. Это и .

Тогда

.

Умножаем обе части на

.

Применяя сочетательное свойство, получим

,

откуда

.

Что противоречит предположению о том, что имеются две различные обратные матрицы.

Из доказанной теоремы следует алгоритм построения обратной матрицы:

1. Вычисляем . Если , то .

2. Транспонируем .

3. Строим заменой .

4. .

Пример. Найти для .

Решение: 1) .

2) .

3) .

4) .

Проверка.

.

Обратная матрица обладает свойствами:

1с) .

Доказательство:

.

2с) .

3с) .

4с) .

Эти свойства доказываются аналогично свойству 1с) и путем вычисления.

Существует и другой способ вычисления обратной матрицы, основанный на элементарных преобразованиях вспомогательной матрицы, которая получается путем приписывания к данной матрице единичной матрицы того же размера.

.

Пример.

.

5. Теорема Кронекера-Капелли

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

Матрица системы:

.

Расширенная матрица системы:

.

Очевидно .

Теорема Кронекера-Капелли утверждает, что

1) система имеет единственное решение (определенна).

2) система имеет бесконечное множество решений (неопределенна)

3) система не имеет решений (несовместна)

Примеры.

1)

~ .

А

определенна.

Решение , , .

2)

.

, .

.

3)

.

, .

бесконечное множество решений.

.

, , .

Рассмотрим выполнение заданий на нахождение обратной матрицы и решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Задание 1

Найти матрицу, обратную матрице .

Решение

I способ

1. Вычислим определитель данной матрицы:

Так как определитель матрицы А отличен от нуля, т.е. то данная матрица невырожденная и, следовательно, имеет обратную матрицу.

2. Транспонируем матрицу А:

.

3. Найдем присоединенную матрицу . Для этого вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы А^Т:

Присоединенная матрица будет иметь вид

4. Так как , то можно записать обратную матрицу:

.

II способ

Обратную матрицу можно вычислить с помощью элементарных преобразований вспомогательной матрицы. Для этого необходимо следующее.

1. Составить вспомогательную матрицу, которая получается, если к исходной матрице приписать справа единичную матрицу того же размера.

2. Путем элементарных преобразований строк вспомогательной матрицы получить в левой ее части вместо исходной единичную матрицу.

3. В правой части вспомогательной матрицы на месте единичной получится матрица, обратная данной.

Проверка

Задание 2

Найти матрицу, обратную матрице .

Решение

I способ

1. Вычислим определитель данной матрицы:

Так как определитель матрицы А отличен от нуля, т.е. то данная матрица невырожденная и, следовательно, имеет обратную матрицу.

2. Транспонируем матрицу А:

.

3. Найдем присоединенную матрицу . Для этого вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы А^Т:

Присоединенная матрица будет иметь вид

4. Так как , то можно записать обратную матрицу:

.

II способ

Вычислим обратную матрицу с помощью элементарных преобразований вспомогательной матрицы.

Проверка

Задание 3

Найти матрицу, обратную матрице .

Решение

I способ

1. Вычислим определитель данной матрицы:

Так как определитель матрицы А отличен от нуля, т.е. то данная матрица невырожденная и, следовательно, имеет обратную матрицу.

2. Транспонируем матрицу А:

.

3. Найдем присоединенную матрицу . Для этого вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы А^Т:

Присоединенная матрица будет иметь вид

4. Так как , то можно записать обратную матрицу:

.

II способ

Вычислим обратную матрицу с помощью элементарных преобразований вспомогательной матрицы:

Проверка

Задание 4

Найти матрицу, обратную матрице .

Решение

I способ

1. Вычислим определитель данной матрицы:

Так как определитель матрицы А отличен от нуля, т.е. то данная матрица невырожденная и, следовательно, имеет обратную матрицу.

2. Транспонируем матрицу А:

.

3. Найдем присоединенную матрицу . Для этого вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы А^Т:

Присоединенная матрица будет иметь вид

4. Так как , то можно записать обратную матрицу:

.

II способ

Вычислим обратную матрицу с помощью элементарных преобразований вспомогательной матрицы:

Проверка

Задание 5

Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:

Решение

Запишем данную систему уравнений в матричной форме или

Вычислим определитель матрицы :

.

Т.к. , следовательно, матрица - невырожденная и имеет обратную. Найдем матрицу, обратную матрице :

.

Тогда решение исходной системы уравнений найдем по формуле (3):

.

Проверка

Проверим правильность решения, подставив найденные значения неизвестных в исходную систему уравнений.

Т.к. уравнения данной системы при подстановке найденных значений обратились в тождества, следовательно, - решение исходной системы уравнений.

Ответ: .

Задание 6

Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:

Решение

Запишем данную систему уравнений в матричной форме или

.

Вычислим определитель матрицы :

.

Т.к. , следовательно, матрица - невырожденная и имеет обратную. Найдем матрицу, обратную матрице :

.

Тогда решение исходной системы уравнений найдем по формуле (3):

.

Ответ: .

Задание 7

Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:

Решение

Запишем данную систему уравнений в матричной форме или

.

Вычислим определитель матрицы :

.

Т.к. , следовательно, матрица - невырожденная и имеет обратную. Найдем матрицу, обратную матрице :

.

Тогда решение исходной системы уравнений найдем по формуле (3):

.

Ответ: .

Задание 8

Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:

Решение

1. .

2. .

3. .

4. .

Ответ: .

Следующее задание выполните самостоятельно.

Задание 9

Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы:

Если при выполнении задания 9 у Вас получилось не (-2,1,0), то рассмотрите решение задания 9.

Дата добавления: 2015-11-16