Определители и системы линейных уравнений

Учебное пособие для самостоятельной работы студентов

САМАРА

Линейная алгебра

Определители и системы линейных уравнений

1. Определители 2^го порядка

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

(1)

Решаем эту систему методом исключения неизвестных. Исключим у. Для этого первое уравнение умножаем на а ₂₂, второе на – а ₁₂, затем уравнения складываем, получаем после преобразований

.

Если , то можем найти х

. (2)

Число называется определителем 2 ^го порядка и обозначается

.

Выражение, стоящее в числителе, тоже является определителем 2 ^го порядка

.

Правило вычисления определителя 2^го порядка

Сначала об элементах определителя: .

1) - элемент определителя, стоящий в i-ой строке и в j-ом столбце,

2) i, j – индексы,

3) - элементы i-ой строки,

4) - элементы j-ого столбца,

5) - элементы главной диагонали,

6) - элементы побочной диагонали.

.

Примеры:

1) .

2) .

3) .

4) .

Аналогично методом исключения получим решение для у

. (3)

Видим, что структура формулы (3) такая же, что и у формулы (2), обозначив

,

получим формулы для решения системы

Это формулы Крамера, они дают единственное решение, если .

Пример.

Решить систему

1. Решение существует.

2. .

3. .

4. ; .

Формулы Крамера были получены из соотношений

(4)

полагая, что . Т.е.

или

.

Значит система имеет единственное решение если ее коэффициенты непропорциональны. Говорят, что система определенна.

Если , но хотя бы один из определителей или отличны от нуля, то одно из равенств (4) невозможно, и система не имеет решения. Говорят, что система несовместна.

Если , то это означает пропорциональность коэффициентов системы

.

Значит одно из уравнений получено из другого умножением на некоторое число т. И в действительности мы имеем одно уравнение с двумя неизвестными

. (5)

Такое уравнение имеет бесконечное множество решений, связанных с уравнением (5). Таким образом система совместна, но неопределенна.

Из (5) найдем .

Если обозначить , то – можно и так записать решение.

Рассмотрим выполнение заданий на вычисление определителей второго порядка и решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Задание 1

Вычислить определитель

Решение

Применяя формулу получим

.

Ответ: Δ = 2.

Задание 2

Вычислить определитель

.

Решение

Дата добавления: 2015-11-16