Решение задания 9.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ | Применяя формулу получим | Решение задания 11. | методом гаусса |

Читайте также:

Данные матрицы удовлетворяют правилу размеров (4), а, следовательно, их можно перемножить и затем сложить:

3. Ранг матрицы

Для квадратной матрицы А можно записать определитель, состоящий из тех же элементов. Обозначается

det A.

Если , то матрица называется неособенной (вырожденной). Если – вырожденная (особенная).

Пусть дана прямоугольная матрица размера . Образуем минор k ^го порядка этой матрицы. Для этого возьмем k строк и k столбцов и выберем элементы, стоящие на их пересечениях. Из этих элементов составим определитель. Порядок его будет k. Это и есть минор k ^го порядка матрицы А.

Например.

; ;

Ясно, что таких миноров можно образовать несколько.

Будем образовывать такие миноры, начиная с порядка , затем и т.д. При некотором порядке хотя бы один из миноров этого порядка не равен нулю, а при , т.е. повышении порядка на единицу, уже все миноры будут равны нулю.

Такое число r и называется рангом матрицы А.

или

Минор порядка r, который отличен от нуля, называется базисным минором, а строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками или столбцами.

Естественно, что таких базисных миноров может быть несколько.

Пример.

. Найти ранг этой матрицы.

Решение. Среди всех миноров 1 ^го порядка (отдельные элементы) есть ненулевые. Значит ранг не меньше 1.

Среди всех миноров 2 ^го порядка есть ненулевые. Например .

Значит ранг не меньше 2.

Переберем все миноры третьего порядка.

; ; ; .

Все миноры третьего порядка нулевые.

Ранг равен 2.

Для вычисления ранга матрицы очень часто пользуются приемом проведения ее к виду, позволяющему дать ответ о ранге исследуемой матрицы. Для этого применяют операции, не изменяющие ранг матрицы, но упрощающие ее вид.

Эти операции называются элементарными, и они вытекают из свойств определителей:

1. Транспонирование матрицы.

2. Перестановка строк (столбцов).

3. Умножение всех элементов строки (столбца) на какое-либо число.

4. Прибавление к одному столбцу (строке) другого, умноженного на отличное от нуля число.

Пример. Найти ранг матрицы.

~ ~

Канонической называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят несколько единиц, а все остальные равны нулю.

Например

Очевидно .

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

Рассмотрим выполнение заданий на нахождение ранга матрицы.

Задание 1

Вычислить ранг матрицы .

Решение

Все элементы данной матрицы, т.е. миноры первого порядка, отличны от нуля. Следовательно, ранг матрицы А не меньше 1.

Вычислим определитель данной матрицы (единственный минор второго порядка):

Так как определитель матрицы А, т.е. ее минор второго порядка, отличен от нуля, то ранг данной матрицы r (A) = 2. Определитель матрицы А будет ее единственным базисным минором.

Ответ: r (A) = 2.

Задание 2

Вычислить ранг матрицы .

Решение

Все элементы матрицы А, т.е. миноры первого порядка, отличны от нуля. Следовательно, ранг матрицы А не меньше 1. Однако определитель ее, т.е. ее минор второго порядка, равен нулю:

Следовательно, ранг данной матрицы r (A) = 1. Данная матрица имеет четыре базисных минора:

Ответ: r (A) = 1.

Задание 3

Вычислить ранг матрицы .

Решение

Один элемент матрицы А, т.е. один минор первого порядка, отличен от нуля. Следовательно, ранг матрицы А не меньше 1. Однако определитель ее, т.е. ее минор второго порядка, равен нулю:

Следовательно, ранг данной матрицы r (A) = 1. Данная матрица имеет один базисный минор

Ответ: r (A) = 1.

Задание 4

Вычислить ранг матрицы .

Решение

Так как все элементы матрицы А, т.е. миноры первого порядка, равны нулю, то ранг данной матрицы r (A) = 0.

Ответ: r (A) = 0.

Задание 5

Вычислить ранг матрицы .

Решение

Среди миноров второго порядка есть ненулевые. Например, .

Значит, ранг не меньше 2.

Вычислим определитель данной матрицы (единственный минор третьего порядка):

Так как определитель матрицы А, т.е. ее минор третьего порядка, отличен от нуля, то ранг данной матрицы r (A) = 3. Определитель данной матрицы А будет так же ее единственным базисным минором.

Ответ: r (A) = 3.

Задание 6

Вычислить ранг матрицы .

Решение

Среди миноров второго порядка есть ненулевые. Например, .

Значит, ранг не меньше 2.

Вычислим определитель данной матрицы (единственный минор третьего порядка):

Определитель матрицы А, ее минор третьего порядка, равен нулю. Значит ранг данной матрицы r (A) = 2. Данная матрица имеет шесть базовых миноров:

Ответ: r (A) = 2.

Задание 7

Найти ранг матрицы .

Решение

Посредством последовательных элементарных преобразований над данной матрицей получим следующую систему эквивалентных матриц:

~ ~ ~

~ ~ ~ ~ .

Следовательно, ранг данной матрицы равен двум.

Ответ: r(A) = 2.

Задание 8

Найти ранг матрицы .

Решение

Посредством последовательных элементарных преобразований над данной матрицей получим следующую систему эквивалентных матриц:

~ ~ ~

~ ~ ~ .

Следовательно, ранг данной матрицы равен двум.

Ответ: r(A) = 2.

Задание 9

Найти ранг матрицы .