Решение задания 10.

Вычислим определитель системы:

.

Так как Δ = 10 ≠ 0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

Для этого вычислим определители Δ ₁, Δ ₂и Δ ₃:

.

Следовательно, .

Ответ:

Матрицы

1. Матрицы и их типы

Матрица – это совокупность чисел или объектов другой природы, расположенных в виде прямоугольной таблицы.

.

m строк n столбцов

Размер матрицы .

.

Мы будем рассматривать конечные матрицы с числовыми элементами.

Классификация по размеру

1) – матрица- столбец.

2) – матрица- строка.

3) , т.е. – квадратная матрица.

Элементы , где – образуют главную диагональ.

4) Квадратная матрица, все элементы которой вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной.

.

5) Если в диагональной матрице все , то такая матрица называется единичной.

.

Единичную матрицу удобно обозначать с помощью символа Кронекера

.

6) Нулевая матрица

.

У нее все элементы равны нулю.

Транспонирование матрицы – это преобразование, состоящее в замене строк столбцами. Получим транспонированную матрицу.

Например.

.

Очевидно свойство

.

Если , то матрица называется симметричной. И у нее

,

т.е. равны элементы, симметричные относительно главной диагонали.

Если , то матрица называется кососимметричной. У нее

.

Очевидно, что у такой матрицы элементы главной диагонали равны нулю.

Для равенства матриц необходимо и достаточно, чтобы они были одинакового размера и чтобы элементы, стоящие на одинаковых местах были равными.

2. Операции над матрицами

1) Сумма матриц.

Матрицы одинаковых размеров можно складывать, при этом получаем матрицу того же размера, что и слагаемые, а элементы ее образуются сложением элементов, стоящих на одинаковых местах

.

Пример.

.

Эта операция обладает свойствами:

1) Коммутативность

.

2) Ассоциативность

.

3) .

4) , ;

, .

2) Произведение матрицы на число.

Любую матрицу можно умножить на число (скаляр), при этом получаем матрицу того же размера, а элементы ее получаются умножением на заданное число всех элементов данной матрицы.

.

Пример.

.

Свойства этой операции:

1) Дистрибутивность относительно матричной суммы

.

2) Дистрибутивность относительно скалярной суммы

.

3) Ассоциативность относительно произведения скаляров

.

4) Существование элемента нейтрального относительно умножения на скаляр

.

3) Умножение матриц.

а) Умножение строки на столбец.

Это возможно, если число элементов в строке равно числу элементов в столбце.

.

Пример.

.

б) Умножение произвольных матриц.

Произведением матрицы на матрицу является матрица размера , элемент которой равен результату умножения i ^ой строки матрицы А на k ^ый столбец матрицы В

.

Пример.

.

Ясно, что умножать матрицы можно не всегда, а с точки зрения их размеров.

Правило размеров:

.

Поэтому в общем случае произведение матриц не коммутативно.

.

Если же , то такие матрицы называются коммутирующими. Однако, если операция произведения осуществима, то будут справедливы следующие свойства:

1) Ассоциативность

.

2) Дистрибутивность.

или

.

Рассмотрим выполнение заданий на действие с матрицами.

Задание 1

Найти матрицу C = 3 A + 4 B, если

.

Решение

Используя свойства сложения и умножения матриц на число, получим

Задание 2

Показать, что матрица S = 3 A – 2 B – симметрическая, если

.

Решение

Используя свойства сложения и умножения матриц на число, получим

Полученная матрица S – симметрическая, так как при транспонировании она не изменяется.

Задание 3

Показать, что матрица K = 5 A – B – кососимметрическая, если

.

Решение

Используя свойства сложения и умножения матриц на число, получим

Полученная матрица K – кососимметрическая, так как при транспонировании она меняет знак на противоположный:

Задание 4

Найти матрицу C = AB,если

.

Решение

Данные матрицы удовлетворяют правилу размеров (4), а следовательно, их можно перемножить. Найдем элементы первой строки матрицы С, используя формулу (3) и схему:

= = =

= = =

= = =

Аналогично находим все остальные элементы матрицы С:

Следовательно, матрица С имеет вид:

Задание 5

Найти матрицу C = AB,если

.

Решение

Данные матрицы удовлетворяют правилу размеров (4), а следовательно, их можно перемножить. Умножая по очереди строки матрицы А на столбцы матрицы В, получим матрицу

Задание 6

Показать, что произведение матрицы на транспонированную является симметрической матрицей.

Решение

Транспонируем матрицу A:

.

Матрицы A и A ^T удовлетворяют правилу размеров (4), а следовательно, их можно перемножить. Умножая по очереди строки матрицы А на столбцы матрицы A^T, получим матрицу

Матрица S является симметрической, так как при транспонировании она не меняется, т.е. S = S^Т, что и требовалось доказать.

Задание 7

Показать, что матрицы A и B перестановочны.

.

Решение

Данные матрицы удовлетворяют правилу размеров (4), а, следовательно, их можно перемножить в любом порядке.

Найдем произведение АВ. Умножая по очереди строки матрицы А на столбцы матрицы В, получим матрицу

Теперь перемножим эти же матрицы в другом порядке, т.е. найдем произведение ВА:

Так как АВ = ВА, то исходные матрицы перестановочны, что и требовлось показать.

Задание 8

Выполнить действия:

.

Решение

Данные матрицы удовлетворяют правилу размеров (4), а следовательно, их можно перемножить и затем сложить:

Следующее задание выполните самостоятельно:

Задание 9

Выполнить действия

.

Если у Вас получился результат отличный от матрицы

, то рассмотрите решение этого задания.

Дата добавления: 2015-11-16