|
Читайте также: |
Вычислим определитель системы
.
Так как Δ ≠ 0для все значений a, кроме a = -3, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:
Для этого вычислим определители Δ 1и Δ 2:
.
Следовательно, 
Если 
и 
, то 
, и система имеет бесчисленное множество решений.
Если же и 
, то 
, а 
и 
, т.е. система несовместна (не имеет решений).
Ответ:
4. при 
система имеет единственное решение
5. при , система имеет бесчисленное множество решений.
6. при и система несовместна.
2. Определители 3го порядка
Определитель 3 го порядка есть число, зависимое и вычисляемое следующим образом:
.
Для упрощения вычисления определителя имеется несколько схем.
1. Схема треугольников. 
2. 
Схема Саррюса
3. Свойства определителей
Мы изучили свойства общие для определителей любого порядка. Но будем рассматривать их на примере определителя 3 го порядка.
1с) Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами.
Такая операция называется транспонированием определителя и обозначается 
, таким образом
.
Проверить справедливость этого свойства можно вычислением определителя 
и .
.
Это свойство говорит о равноправии строк и столбцов определителя с точки зрения его свойств.
2с) При перестановке 2 х строк (или столбцов) определитель меняет знак.
Проверка вычислением.
3с) Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
Доказательство:
Предположим 
и определитель равен . Переставим 
и 
. Согласно 2с) определитель должен сменить знак, т.е. стать равным 
. Но строки равны и перестановка не должна сказаться на его величине, таким образом
,
а это возможно, если только 
.
4с) Общий множитель элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
Доказательство:
Предположим какая-либо строка, например 1 ая, имеет общий множитель, значит все элементы с первым индексом 1 имеют этот общий множитель. А элементы с таким первым индексом входят в каждое произведение выражения для вычисления определителя. Значит этот множитель входит в каждое произведение и его можно вынести за скобки или за знак определителя.
.
5с) Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.
Доказательство: вытекает из предыдущего свойства.
6с) Если соответствующие элементы 2 х строк (столбцов) пропорциональны, то такой определитель равен нулю.
.
Введем понятие минора и алгебраического дополнения определителя.
Выделим в определителе 3 го порядка элемент 
и вычеркнем i -ую строку и k -ый столбец. Оставшиеся элементы образуют определитель второго порядка, который и называют минором Mik элемента .
Например
.
Алгебраическое дополнение элемента определяется выражением
.
Схема знаков 
для определителя 3 го порядка.
Например
.
7с) Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) на алгебраические дополнения этих элементов равна величине определителя.
– это разложение по столбцу k.
– это разложение по строке i.
Для определителя 3 го порядка:
Пример.
.
Руководствуясь этим свойством, можно вычислить определитель любого порядка.
8с) Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю, т.е.
.
Доказательство:
В данной сумме не участвуют элементы строки j. Значит она (эта сумма) от этих элементов не зависит. Поэтому данную строку можно заменить на любую другую, например на i -ю строку, но такой определитель равен нулю.
9с) Пусть определитель имеет следующий вид:
, его можно записать в виде суммы 2 х определителей
.
Доказать можно разложением по элементам первого столбца.
10с) Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца) предварительно умноженные на одно и тоже число, то величина определителя не изменится.
0
.
Применяя это свойство, удается упростить вычисление определителя.
Пример.
.
Пользуясь этим свойством и разложением определителя по строке (столбцу) можно вычислять и определители более высоких порядков.
Пример.
.
4. Решение системы линейных уравнений с помощью определителей
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
(1) 
.
; 
; 
. (2)
1) 
. Получаем формулы Крамера.
; 
; 
. (3)
Формулы (3) дают единственное решение системы. То, что это решение можно убедиться, подставив (3) в (1).
2) , но один из 
.
Система не совместна, т.к. (2) не выполняются.
3) 
. В этом случае система или не имеет решений, или имеет их бесчисленное множество. (Или несовместна, или неопределенна).
Рассмотрим выполнение заданий на вычисление определителей третьего порядка и решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
Задание 1
Вычислить определитель
.
Решение
Воспользуемся правилом треугольников: найдем сумму произведений элементов по левой схеме
=3· (-4)·7 + 2·(-2) ·6 + 1·1·(-3) = -84 - 24 -3 = -111
и сумму произведений элементов по правой схеме
= 1·(-4)·2 + 1·(-2)·7 + 3·(-3)·6 = -8 - 14 -54 = -76.
Из первой суммы вычтем вторую и получим: Δ = -111 - (-76) = -111 + 76 = -35.
Ответ: Δ = -35.
Задание 2
Вычислить определитель
.
Решение
Воспользуемся правилом Саррюса. Припишем к данному определителю справа два его первых столбца:
.
Вычислим сумму произведений элементов определителя, расположенных на главной диагонали и параллельно ей:
= = 11·1· (-2) + 2·2·(-5) + 3·(-4)·(-3) = -22 - 20 + 36 = -6.
и сумму произведений элементов, расположенных на побочной диагонали и параллельно ей:
= (-5)·1·3 +(-3)·2·11 + (-2)·(-4)·2 = -15 - 66 + 16 = - 65.
Из первой суммы вычтем вторую и получим: Δ = -6 - (-65) = -6 + 65 = 59.
Примечание. Для вычислений можно воспользоваться калькулятором. Последовательность действий может быть следующей:
1. 11* 1* 2 à М- à 2*2*5 à М- à3*4*3 à М+ àMRC –-6
2. 5*1*3 à M- à 3*2*11 à M- à 2*4*2 à M+ à MRC –-65
3. - 6 + 65 = –59
или 11* 1* 2 à М- à2*2*5 à М- à3*4*3 à М+ à 5*1*3 à M+ à 3*2*11 à M+ à 2*4*2 à M- à MRC –59
Ответ: Δ = 59.
Задание 3
Вычислить определитель, разложив его по элементам первой строки
.
Решение
Воспользуемся свойством 7 определителей:
= (-4)((-2)·2 – (-5)·6) + 3·(-1)(9·2 – 1·(-5)) + 2·(9·6 - 1·(-2)) =
= (-4)(-4 + 30) – 3(18 + 5) + 2(54 + 2) = -104 – 69 + 112 = - 61.
Ответ: Δ = - 61.
Задание 4
Вычислить определитель
.
Решение
Непосредственное вычисление данного определителя с помощью правила треугольников, правила Саррюса или разложение его по элементам какого-либо столбца (строки) привело бы к очень громоздким вычислениям. Поэтому целесообразно сначала преобразовать данный определитель, используя свойство 10. Величина определителя не изменится, если первую его строку сначала умножить на 2 и вычесть из второй, а затем умножить на 4 и вычесть из третьей:
.
Полученный определитель (согласно свойству 7) можно разложить по элементам первого столбца, в котором только один элемент отличен от нуля:
.
Ответ: Δ = 7422.
Задание 5
Не раскрывая определителя, доказать справедливость равенства
.
Решение
Воспользуемся свойством 10 определителей. Величина определителя не изменится, если первый его столбец сначала умножить на 2 и прибавить ко второму, а затем умножить на 3 и прибавить к третьему:
Что и требовалось доказать.
Задание 6
Не раскрывая определителя, доказать справедливость равенства
.
Решение
Воспользуемся свойством 10 определителей. Величина определителя не изменится, если первый его столбец прибавить к третьему:
.
В полученном определителе соответствующие элементы второго и третьего столбцов пропорциональны, следовательно, в соответствии со свойством 6 определителей данный определитель равен нулю. Что и требовалось доказать.
Задание 7
Не раскрывая определителя, доказать справедливость равенства
.
Решение
Воспользуемся свойством 9 определителей и представим исходный определитель в виде суммы двух определителей:
.
Первый из этих определителей имеет два одинаковых столбца – первый и второй, а во втором соответствующие элементы первого и третьего столбцов пропорциональны, следовательно, в соответствии со свойством 6 определителей оба этих определителя равны нулю, а, следовательно, и данный определитель равен нулю. Что и требовалось доказать.
Задание 8
Решить систему 
Решение
Вычислим определитель системы:
.
Так как Δ = -8 ≠ 0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:
Для этого вычислим определители Δ 1, Δ 2и Δ 3:
Следовательно, 
Ответ: 
Задание 9
Решить систему 
Решение
Вычислим определитель системы
.
Так как Δ = -23 ≠ 0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:
Для этого вычислим определители Δ 1, Δ 2и Δ 3:
Следовательно, 
Ответ: 
Следующее задание выполните самостоятельно.
Задание 10
Решить систему 
Если у Вас получился ответ отличный от (0,5; 2; 1,5), то рассмотрите решение задания 10.
Дата добавления: 2015-11-16; просмотров: 31 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Применяя формулу получим | | | Решение задания 10. |