Некоторые физические задачи из теории поля

Задача 38 (10, с. 18, пр. 3]) Электрический ток силы I течет по бесконечному проводу вдоль оси Найти напряженность магнитного поля, создаваемого этим проводом в произвольной точке пространства.

Решение. По закону Био-Савара Здесь – напряженность магнитного поля, создаваемого током в произвольной точке M пространства. Элемент тока определяется значением на вектором и величиной I (в точке ); вектор идет из точки в M. Если – единичный вектор, сонаправленный с осью – с осью – с осью то Тогда

Поэтому

Таким образом, где – расстояние от точки М до оси

Задача 39. Установить является ли поле из задачи потенциальным, и в случае положительного ответа на этот вопрос, найти его потенциал.

Решение. Для потенциальности поля достаточно установить равенство

Таким образом, поле потенциально всюду за исключением точек оси т.е. самого проводника.

Найдем потенциал поля т.е. такую функцию для которой

Поскольку то криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит лишь от начальной точки и конечной точки Проинтегрируем вдоль ломаной , у которой

Тогда где Найдём каждый из интегралов, стоящий в правой части равенства:

Таким образом,

где В самом деле, Итак,

Для проверки вычислим grad φ:

Задача 40. Выяснить, является ли поле соленоидальным. Если да, то найти его векторный потенциал.

Решение. Для соленоидальности поля достаточно установить равенство т.е. равенство что получается мгновенно: Таким образом, поле соленоидально всюду, за исключением оси Найдем новое поле , такое что или, что равносильно, из этих равенств имеем:

Для нахождения всех решений достаточно найти одно, поскольку где – любая функция от ибо всегда Поэтому, полагая , найдем откуда Поэтому Проверим равенство

Поэтому где f – любая непрерывно дифференцируемая функция переменных .

Задача 41. Найти векторные линии поля .

Решение. Уравнение векторной линии: Поскольку то т.е. Далее, Отсюда что означает т.е. Таким образом, векторные линии суть окружности

Задача 42. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль окружности

Решение.

Отличность от нуля циркуляции поля вдоль объясняется наличием особой точки вектор-функции внутри контура ω. Число носит название циклической постоянной относительно особой точки Значение циклической постоянной не зависит от контура содержащего внутри себя эту точку. Заметим, что если контур не содержит внутри себя точку , то

Учебная литература

1. Акивис, М.А. Тензорное исчисление / М.А. Акивис, В.В. Гольдберг. – М.: Наука, 1969. – 352 с.

2. Арнольд, В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. – М.: Наука, 1979. – 432 с.

3. Батыгин, В.В. Сборник задач по электродинамике / В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин. – М.: Наука, 1970. – 504 с.

4. Болгов, В.А. Сборник задач по математике для втузов / В.А. Болгов, Б.П. Демидович, В.А. Ефименко, и др.; Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1981. – 368 с.

5. Бутузов, В.Ф. Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных: Учеб. пособие для вузов / В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев, и др.; Под ред. В.Ф. Бутузова. – М.: Высшая школа, 1988. – 288 с.

6. Гусак, А.А. Задачи и упражнения по высшей математики. Ч. 2 / А.А. Гусак. – Минск, Вышэйшая школа, 1988. – 232 с.

7. Демидович, Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу / Б.П. Демидович. – М.: Физматгиз, 1962. – 544 с.

8. Ильин, В.А. Основы математического анализа. Ч. 2 / В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк – М.: Наука, 1980. – 448 с.

9. Каплан, И.А. Практические занятия по высшей математике. Ч. 4 / И.А. Каплан. – Харьков, 1966. – 236 с.

10. Краснов, М.Л. Векторный анализ / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. – М.: Наука, 1978. – 160 с.

11. Кудрявцев, Л.Д. Курс математического анализа: Учебник для вузов: В 2 т. / Л.Д. Кудрявцев. – М.: Высшая школа, 1988. – Т. 2 – 576 с.

12. Кузнецов, Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) / Л.А. Кузнецов. – М.: Высшая школа, 1983. – 176 с.

13. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: В 2 т. / Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1972. – Т. 2. – 576 с.

14. Современная математика для инженеров / Под ред. Э.Ф. Беккенбаха. – М.: ИЛ, 1959. – 500 с.

15. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа: В 2 т. / Г.М. Фихтенгольц. – М.: Наука, 1968. – Т. 2. – 464 с.

Ответы и указания

Глава 1

4. где x и z натуральные, удовлетворяющие системе неравенств: 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 16.

Глава 2

1. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 5. 6. 20. 22. . 23. . 24. –5. 25. 6 26. –4. 27. . 28. –11. 29. 3. 30. 31. 14. 32. 5. 33. 34. 1) правая; 2) левая; 3) левая; 4) правая; 5) векторы компланарны; 6) левая 35. 1) компланарны; 2) не компланарны; 3) компланарны. 37. 3 куб. ед. 38. 11 39. D₁ (0,8,0), D₂ (0,-7,0). 42. (-6,6,-3) 52. 30 км/час, северо-запад. 54. S_y=2,1 м; S_x=10,0 м; t=1,3 сек. 55. Так как горизонтальная составляющая скорости камня постоянна, то горизонтальная составляющая ускорения равна 0. Поэтому полное ускорение камня все время направлено вертикально вниз и равно ускорению силы тяжести. Поэтому а = g = (см. рис.)

Из рисунка видим, что , .

Отсюда .

Так как и , то , .

Подставляя численные значения в выражения для а_t и a_n, получим м/сек², м/сек². 59. Равнодействующая двух противоположно направленных, не равных по модулю сил, приложенных к точкам А и В стержня, им параллельна, направлена в сторону большей силы и равна по модулю их разности; линия действия равнодействующей делит [ AB ] внешним образом в отношении, обратно пропорциональном модулям этих сил. Решение аналогично решению задачи 58. 61. растягивает сжимает АВ. 62. В тросе АС: | |= , в тросе СВ. | |= (силы растяжения) 63. В стержне АВ действует растягивающая сила – 120 (ед.), в стержне СВ сжимающая сила – (ед.). 64. 10, 10, . 65. Для решения задачи выбрать СК так, чтобы О (0,0,0). ; ; . Далее требуется разложить по направлению действия сил || , || , || . Для этого надо найти орты , , : , , . Затем разложить =| |· по этим ортам. Ответ: – сила растяжения горизонтальных стержней, – сила сжатия стержня ОС. 66. Натяжение тросов осуществляется силами вектор направлен противоположно вектору вектор – противоположно вектору 67. 1,16 кг, 0,85 кг. 68. 104 кг, 52 кг. 69. 90 кг, 89 кг. 70. 2000 кг, 1600 кг. 71. 4000 кг, 5300 кг. 72. Для решения задачи разложить вектор по направлениям , и . Для этого ввести прямоугольную декартову систему координат и найти в ней орты и Затем воспользоваться задачей разложения вектора по ортам найденных векторов. Ответ: Стержень будет сжиматься, а тросы и будут растягиваться. 73. Вектор () лежит в плоскости крана ABCD и, следовательно, можно представить в виде суммы двух векторов: ; Пусть – натяжение струны . ~ , следовательно, . Отсюда . ВС находим из ; , Выберем базис , как показано на рис. 29. Прямая составляет равные углы с прямыми АЕ и AF. Следовательно, имеет орт Так как то и Тогда то есть Далее Найдем орты векторов и Соответственно получим Теперь осталось разложить вектор по векторам , и Для этого надо воспользоваться формулой, полученной в задаче 44 б): . После подсчетов должно получиться Отсюда 74. 75. где , , 78. (5,5; 4,75). 80. (11,5). 81. 12,5 см от противоположной веревки. 82. м от опоры А. 84. Если то 86. 87. (3; 0,5). 89. Если за начало координат принять точку Е – середину отрезка АВ, а за оси координат – прямые ЕВ и ЕС, то центр масс имеет координаты (0; 1,582). 90. (7,8), если за начало координат выбрана точка А, ось Ох направлена в сторону луча АВ, ось Оу – в сторону луча АС. 91. Центр масс однородного стержня находится в его середине. Поэтому искомый центр масс совпадает с центром масс системы материальных точек E, F, H, R, L, где Е – середина АВ, F – середина ВC, H – середина СD, К – середина АС, L – середина АD. Примем точку А за полюс, а радиус-векторы указанных точек обозначим соответственно Поскольку все стержни сделаны из одного материала, то масса их пропорциональна длине, поэтому можно считать, что а найдем, подсчитав длину отрезка (по теореме косинусов для треугольника АСD): . Теперь по формуле для радиус-вектора центра масс имеем . Так как , то для радиус-вектора центра масс фермы имеем . 92. Принять точку С за полюс. Центр масс лежит на отрезке СК на расстоянии от точки С. 93. Центр масс фигуры лежит на отрезке ОС, где О – центр квадрата, на расстоянии от центра квадрата. 94. Если центр О квадрата АВСD – полюс, – радиус-вектор середины отрезка , – радиус-вектор середины отрезка ВС, – радиус–вектор вершины , – радиус–вектор центра масс треугольника АВЕ, то , где – площадь квадрата, а – площадь треугольника . Выразив вектор через векторы и и найдя площади и , получим 96. 17. 97. 31. 98. 21. 99. -18. 100. Указание. Для решения задачи рассмотреть прямоугольную декартову систему координат с началом в центре Земли, осью Оz, направленной вдоль земной оси на север, осью Ох, отвечающей углам , и осью Оy, перпендикулярной к Ох. При этом долгота пусть меняется от 0⁰ до 360⁰.Тогда можно найти прямоугольные декартовые координаты точек А() и В() и разложить по базисным векторам радиус-векторы этих точек. Далее следует найти угол между этими векторами, а затем – и длину искомой дуги; 101. а) (15,-3,-14), b) (0,0,0), с) (-3,11, 9), d) (-4,3,4). 102. . 103. 104. 106. a) б) плечо h=2,8; в) (-354,-248,0). 107. 150 Н. 110. 6400 об/мин. 111. 64 км/час. 112. 113. По условию Координаты точки М удовлетворяют уравнению: 114. Пусть прямые заданы уравнениями: и а отношение где – точка, описывающая траекторию искомого в задаче множества, N и L – проекции точки М на первую и вторую прямую соответственно. Тогда М описывает пару пересекающихся в начале координат прямых 115. 116. Если ось сонаправить с вектором то , и если то – прямая, перпендикулярная вектору 117. 118. – эллипс, если гипербола, если 119. – гипербола. 120. – парабола. 122. – прямая, если точки и движутся по координатным осям по законам: 123. 126. 127. 128. 129. 130. при точка имеет координаты 131. 1) 2) 3) 4) 132. 1) 2) 3) 133. 1) 2) 3) 134.

Глава 3

7. Промежуток разбит на две равные части. Ансамбль сигналов имеет вид

8. Ансамбль сигналов будет иметь вид

9. Промежуток разбить на два равных промежутка и, рассмотрев функции

соответствующий ансамбль построить аналогично ансамблям из предыдущих задач.

Глава 4

5. 6. Указание. где Заметим, что центр тяжести этого треугольника лежит внутри сферы радиуса 7. Указание. Уравнение задает в поверхность уровня функции при этом, в зависимости от величины параметра с, получается «своя» поверхность уровня. В результате чего расслаивается на поверхности уровня. В данном случае, при с = 0, возникает эллиптический конус с осью при , – однополостный гиперболоид, при , – двуполостный гиперболоид. 8. Множество всех плоскостей из с нормальным вектором 9. Множество всех сфер в с центром в точке О. 10. Если то поверхности уровня – плоскости с нормальным вектором Если же то при всех 12. а) б) в) Заметим, что поскольку то интеграл не зависит от пути соединяющего точки А и В. 13. Заметим, что результат не зависит от формулы пути, ибо 14. 15. 23. a) b) c) d) e) f)

Содержание

1. Системы линейных уравнений. 4

1.1. Понятие системы линейных уравнений и её решения. 5

1.2. Виды систем линейных уравнений. 6

1.3. Методы решений системы.. 7

1.3.1. Комментарии к методу Гаусса. 7

1.3.2. Комментарии к методу Жордана – Гаусса. 9

1.4. Однородная система линейных уравнений ............................... 10

1.5. Применение теории систем линейных уравнений. 10

1.5.1. Применение в аналитической геометрии. 10

1.5.2. Расчет электрических цепей. 11

1.5.3. Расчет потоков транспорта на развилках дорог. 15

1.5.4. Описание системы сил, действующих на упругую статическую систему S закрепленную на краях. 19

1.5.5. Применение метода наименьших квадратов для обработки результатов измерений. 20

1.6. Учебная литература. 28

2. Векторная алгебра и её приложения. 28

2.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. 30

2.2. Линейная зависимость векторов. Базис системы векторов 32

2.3. Понятие системы координат. Координаты точки. 34

2.4. Задачи и упражнения. 35

2.5. Специальные произведения векторов. 37

2.5.1. Скалярное произведение двух векторов. 37

2.5.2. Векторное произведение двух векторов. 39

2.5.3. Смешенное произведение трех векторов. 40

2.5.4. Двойное векторное произведение. 41

2.6. Применение векторов в аналитической геометрии. Задачи. 42

2.7. Физические приложения векторной алгебры.. 46

2.7.1. Равнодействующая сил. Теорема сложения скоростей 49

2.7.2. Простейшие задачи статики. 55

2.7.3. Центр масс системы материальных точек. 61

2.7.4. Вычисление работы, моментов инерции и угловых скоростей 65

2.7.5. Уравнение траектории движущейся точки. 68

2.8. Учебная литература. 71

3. Векторное описание канала связи. 73

3.1. Построение ансамбля сигналов размерности £ 2. 73

3.2. Построение многомерных сигналов. 81

3.3. Процедура детектирования сигналов. 86

4. Векторный анализ. 89

4.1. Криволинейные интегралы и их физические приложения. 89

4.1.1 Криволинейный интеграл I рода от скалярной функции вдоль кривой. 89

4.1.2. Физические приложения криволинейного интеграла I рода 90

4.1.3. Криволинейный интеграл II рода. 95

4.1.4. Физические приложения криволинейного интеграла II рода 96

4.2. Поверхностные интегралы и их физические приложения. 98

4.2.1. Поверхностный интеграл I рода. 98

4.2.2. Физические приложения поверхностного интеграла I рода 99

4.2.3. Поверхностный интеграл II рода. 101

4.2.4. Физические приложения поверхностного интеграла II рода 108

4.3. Некоторые соотношения между характеристиками скалярных и векторных полей. 108

4.3.1. Основные характеристики полей. 108

4.3.2. Специальные виды векторных полей – потенциальное и соленоидальное. 113

4.3.3. Некоторые физические задачи из теории поля. 115

4.4. Учебная литература. 119

Ответы и указания. 120

Глава 1. 120

Глава 2. 120

Глава 3. 125

Глава 4. 126

Учебное издание

Большаков Юрий Иванович,

Медведева Людмила Борисовна

Математика для студентов
в задачах и упражнениях по физике

Учебное пособие

Редактор, корректор М.В. Никулина

Компьютерная верстка И.Н. Ивановой

Подписано в печать 2009 г. Формат 60х84/16.

Бумага тип. Усл. печ. л. 7,67. Уч.-изд. л. 6,27.

Тираж 120 экз. Заказ.

Оригинал-макет подготовлен
в редакционно-издательском отделе ЯрГУ.

Отпечатано на ризографе.

Ярославский государственный университет.

150000 Ярославль, ул. Советская, 14.

[1] Математический энциклопедический словарь. М., 1986., С. 140.

[2] Хрестоматия по истории математики / под ред. А.П. Юшкевича, М.: Просвещение, 1976. С. 46.

Дата добавления: 2015-11-14