Метод линейного программирования

Метод линейного программирования дает возможность обосновать наиболее оптимальное экономическое решение в условиях жестких ограничений, относящихся к используемым в производстве ресурсам (основные фонды, материалы, трудовые ресурсы). Применение этого метода в экономическом анализе позволяет решать задачи, связанные главным образом с планированием деятельности организации. Данный метод помогает определить оптимальные величины выпуска продукции (оказания услуг), а также направления наиболее эффективного использования имеющихся в распоряжении организации производственных ресурсов. При помощи этого метода осуществляется решение так называемых экстремальных задач, которое заключается в нахождении крайних значений, то есть максимума и минимума функций переменных величин.

Метод Лагранжа решения задачи на условный экстремум

Суть метода Лагранжа состоит в построении функции L(x_t,x₂,X) =Дх,,х₂) + Xg(x,,x₂) трех переменных х,,хД (называемой функцией Лагранжа) и, в сведении задачи на условный экстремум в случае двух независимых переменных к задаче на абсолютный экстремум функции L(x_rx₂,X) трех независимых переменных х,, х₂,.

Функция Лагранжа L(x_px₂,X) представляет собой сумму целевой функции и функции ограничения, умноженной на новую неза­висимую переменную X (называемую множителем Лагранжа), вхо­дящую обязательно в первой степени.

Необходимое условие локального условного экстремума функ­ции при наличии ограничения в аналитической форме имеет вид.

Пусть функции Дх,,х₂), g(x_|(x₂) непрерывны и имеют непрерыв­ные частные производные первого порядка по переменным х, и х₂; пусть (хДх) - точка условного локального экстремума функции при наличии ограничения и пусть grad g(x°,x₂°) ф 0.

Тогда существует единственное число Х° такое, что (трехмерная) точка (хДх^Д⁰) удовлетворяет следующей системе трех уравнений:

Другими словами, если (двумерная) точка (хДх) есть точка ло­кального условного экстремума функции при наличии ограни­чения, то (трехмерная) точка (х°,х₂°,Х°) - критическая точка фун­кции Лагранжа. Отсюда следует, что для нахождения точек (услов­ного) локального экстремума функции при наличии ограниче­ния следует прежде всего найти критические точки функции Лагранжа, т.е. найти все решения системы уравнений. Далее критические точки функции Лагранжа следует “укоротить”, удалив из них последние координаты X. Затем каждую “укороченную” кри­тическую точку необходимо проанализировать на предмет, является ли она в действительности точкой (условного) локального экстре­мума функции при наличии ограничения или не является.

Дата добавления: 2015-11-14