Составляющие математической модели

Математической моделью задачи называется совокупность математических соотношений, описывающих суть задачи.

Составление математической модели включает:

· выбор переменных задачи

· составление системы ограничений

· выбор целевой функции

Переменными задачи называются величины Х1, Х2, Хn, которые полностью характеризуют экономический процесс. Обычно их записывают в виде вектора: X=(X₁, X₂,...,X_n).

Системой ограничений задачи называют совокупность уравнений и неравенств, описывающих ограниченность ресурсов в рассматриваемой задаче.

Целевой функцией задачи называют функцию переменных задачи, которая характеризует качество выполнения задачи и экстремум которой требуется найти.

Модели математического программирования относятся к категории детерминированных моделей. Подобного рода задачи решаются в различных отраслях деятельности: в экономике, при разработке проектов, составлении бизнес-плана, планировании и т.п. Термин программирование в применении к рассматриваемому типу задач понимается как поиск наилучших планов (от английского слова programming - составление плана, программы действий). Когда говорят о задачах математического программирования, имеют в виду задачи, цель которых состоит в повышении эффективности промышленных, транспортных систем, систем управления деятельностью организаций.

Математическая структура модели и ее содержательная интерпре­тация

Следует различать математическую структуру модели и ее содер­жательную интерпретацию. Рассмотрим следующие два простых примера.

Пример 1. Пусть требуется определить, какую сумму следует пол­ожить в банк при заданной ставке процента (20% годовых), чтобы через год получить $12000? Вводя формальные обозначения для величин, фигурирующих в задаче:

- начальная сумма денег – М_н,

- конечная сумма денег – M_к

- ставка процента - R

Тогда соотношение между ними М_н = M_к(1+R/100)

Найдем требуемую величину из решения основного уравнения модели она равна $ 10 000.

Пример 2. Пусть требуется определить, каков должен быть объем выпус­ка продукции завода, если в результате технического перевооруже­ния средняя производительность труда увеличилась на 20%, и завод планирует выпускать 12000 единиц продукции.

Вводя формальные обозначения для величин, фигурирующих в задаче: начальный выпуск - Qн, конечный выпуск - Qк процент прироста производительности - R, Соотношение между ними аналогичны.

Вывод: одни и те же математи­ческие модели и методы могут быть использованы для решения совершенно различных экономических задач.

Пусть имеется фирма, выпускающая несколько видов продук­ции. В процессе производства используются три вида ресурсов: обо­рудование, рабочая сила и сырье; эти ресурсы однородны, количес­тва их известны и в данном производственном цикле увеличены быть не могут. Задан расход каждого из ресурсов на производство единицы продукции каждого вида. Заданы цены продуктов. Нужно определить объемы производства с целью максимизации стоимости произведенной продукции (или, в предположении, что вся она на­йдет сбыт на рынке - общей выручки от реализации). В рассматриваемой задаче заданы экзогенные переменные - имеющиеся количества оборудования К, рабочей силы L и сырья R; заданы параметры - коэффициенты их расхода на единицу i-й продук­ции соответственно. Цены продуктов р. также известны. Тогда система уравнений имеет вид:

K₁ х₁+ K₂ х₂+ K₃ х₃+ ….+K_iх_i ≤ К

L₁ х₁+ L₂ х₂+ L₃ х₃+ ….+L_iх_i ≤ L

R₁ х₁+ R₂ х₂+ R₃ х₃+ ….+R_iх_i ≤ R

∑K_iх_i ≤ К

или ∑L_iх_i ≤ L

∑R_iх_i ≤ R

Ограничениями для системы являются Х_i ≥ 0.

Модель является оптимизационной, и наряду с ограничениями должна быть вы писана целевая фун­кция, т.е. максимизируемая или минимизируемая величина, отра­жающая интересы принимающего решение субъекта. Для данной задачи максимизируется величина

р₁х₁+ р₂х₂+р₃х₃+…+р_iх_i или ∑ р_iх_i → max

Целевой функцией задачи называют функцию переменных задачи, которая характеризует качество выполнения задачи и экстремум которой требуется найти. В общем случае задача линейного программирования может быть записана в таком виде:

Ограничения:

Данная запись означает следующее: найти экстремум целевой функции (1) и соответствующие ему переменные X=(X₁, X₂,...,X_n) при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений (2) и условиям неотрицательности (3).

Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется любой n-мерный вектор X=(X₁, X₂,...,X_n), удовлетворяющий системе ограничений и условиям неотрицательности.

Множество допустимых решений (планов) задачи образует область допустимых решений (ОДР).

Оптимальным решением (планом) задачи линейного программирования называется такое допустимое решение (план) задачи, при котором целевая функция достигает экстремума.

Дата добавления: 2015-11-14